ハンケル変換

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ハンケル変換 (Hankel transform) とは、連続関数に対する積分変換 (en) である。関数 f(r) に対する次数 \nu のハンケル変換は以下で定義される。


F_\nu(k) = \int_0^\infty f(r)J_\nu(kr)\,r\,dr

ここで Jν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数である。そして、基底関数の直交性から、逆ハンケル変換 Fν(k) は以下となることが分かる。


f(r) =\int_0^\infty  F_\nu(k)J_\nu(kr) k~dk

ハンケル変換はドイツの数学者ヘルマン・ハンケルにより提案され、フーリエ・ベッセル変換と呼ばれることもある。無限区間におけるフーリエ変換と有限区間のフーリエ級数の関係と同様の関係が、ハンケル変換とフーリエ・ベッセル変換の間にもあると言える。

定義域[編集]

関数 f(r) のハンケル変換が定義されるのは、f(r) が連続で区間 (0, ∞) で定義されているか、区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であり、かつ積分


\int_0^\infty |f(r)|\,r^{1/2}\,dr

が有限であるときである。

しかしフーリエ変換と同様に、たとえば f(r) = (1+r)^{-3/2} のような、上の積分が有限でないような関数にも拡張できるが、ここでは触れない。

基底関数の直交性[編集]

ベッセル関数を使うことで、重み因子 r に関して直交基底 (en) を作ることができる。


\int_0^\infty J_\nu(kr)J_\nu(k'r)r~dr = \frac{\delta (k-k')}{k}

ここで kk' はどちらも 0 より大きい。

プランシュレルの定理とパーセバルの定理[編集]

関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 Fν(k) と Gν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。


\int_0^\infty f(r)g(r)r~dr = \int_0^\infty F_\nu(k)G_\nu(k) k~dk.

プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。


\int_0^\infty |f(r)|^2r~dr = \int_0^\infty |F_\nu(k)|^2 k~dk.

これらのことは、基底の直交性から導かれる。

他の積分変換との関連[編集]

フーリエ変換との関連[編集]

零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。

動径ベクトル r の二次元関数 f(r) のフーリエ変換は以下のようになる。


F(\mathbf{k})=\frac{1}{2\pi}\iint f(\mathbf{r})
e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,d\mathbf{r}.

ここで極座標系 (r, θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。


F(\mathbf{k})=\frac{1}{2\pi}\int_{r=0}^\infty
\int_{\theta=0}^{2\pi}f(r,\theta)e^{-ikr\cos(\theta)}\,r\,dr\,d\theta

ここで θ はベクトル kr の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。


F(\mathbf{k})=F(k)=  \int_0^\infty f(r) J_0(kr) r\,dr

これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。

フーリエ変換、アーベル変換との関連[編集]

ハンケル変換は、FHA サイクル (en) と呼ばれる積分演算のうちの一つである。二次元変換では、A をアーベル変換 (en)、F をフーリエ変換、H を零次のハンケル変換のそれぞれ演算子とすると、投影断層定理 (en) の特別な場合として回転対称な関数については以下のようになる。

FA=H.\,

つまりある関数にアーベル変換を1次元関数に適用し、その結果にフーリエ変換を適用することと、その関数にハンケル変換を適用することは、等価である。これは多次元に拡張できる。

変換表[編集]

f(r)\, F_0(k)\,
1\, \delta(k)/k\,
1/r\, 1/k\,
r\, -1/k^3\,
r^3\, 9/k^5\,
r^{m}\, \frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)}\, for m odd

0 ??? \, for m even

\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}\, \frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}K_{-1/2}(k|z|)\,
\frac{1}{r^2+z^2}\, K_0(k|z|)\,
e^{iar}/r\,  i/\sqrt{ a^2 - k^2} \quad (a>0, k<a) \,
 \,  1/\sqrt{ k^2 - a^2} \quad (a>0, k>a) \,
e^{-a^2r^2/2}\, \frac{e^{-k^2/2a^2}}{a^2}
-r^2 f(r)\, \frac{d^2 F_0}{dk^2}+\frac{1}{k}\frac{d F_0}{dk}

K_n(z)第2種変形ベッセル関数である。表中の \frac{d^2 F_0}{dk^2}+\frac{1}{k}\frac{d F_0}{dk} は、球対称な関数 F_0(k)極座標系 (k,\theta) におけるラプラス演算子 (en) を適用することを意味する。

参考文献[編集]