ノート:接続 (微分幾何学)

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編集終了[編集]

一旦、本記事「接続 (幾何学)」の編集を終えます．--enyokoyama 2014年1月9日 (木) 08:22 (UTC)

ヘッドラインの編集をもとへ戻しました[編集]

こなれた日本語でなくてすみません．接続は非常に重要な概念であり、素朴な近接した二点上の接空間の「差異」というところから出発して、主バンドル上の接続やリー代数上の接続、レヴィ・チヴィタ接続（リーマン接続）という一連の説明や書籍の紹介をすべきで、また、局所座標に依存しない形の議論（微分形式や曲率形式や捩率形式など）も必要と思います．本記事はこれらを考えた上で、ヘッドラインを元の『概要』へ戻しました．--Enyokoyama（会話） 2015年1月12日 (月) 01:59 (UTC)[返信]

冒頭の文にややこしい説明を大量にかくのは定義も主張もよくわからなくなります。英訳もいいですが、文章が混乱していると結局何がいいたいのかわからなくなってしまいます。文献を案内するにしてもなにがどの概念を説明したものかよくわからないです。そのため、正当な順序を追ってレヴィ・チヴィタの平行性からユークリッド接続という導入のほうがいいと主張します。複雑な（発展を遂げた）概念ほど最初の歴史的導入が大事なのです。--I.hidekazu（会話） 2015年1月12日 (月) 12:40 (UTC)[返信]
この記事で何を書くのかがあまり明確でない印象を受けます。一般に問題は、多様体とそのファイバー束にたいしその二点でのファイバーをどうやって比較するか、ということでしょう。具体的には、曲線にそったベクトルの平行移動、あるいはベクトル場の微分、こういった概念をいかに定義すべきかということで、その答えが接続です。動機の項の修正案を考えます。大まかな流れは次のようなことです。
問題設定を「曲線に沿った平行移動をいかに定義すべきか」ということにします。（球面の図が示すような）二つの曲線にそって平行移動した結果が異なる、ということは今は問題ではありません。具体的な座標の計算が必要なのかわかりませんが、問題点はユークリッド空間では接ベクトルの平行移動がきまるが、多様体で座標を決めてユークリッド空間の場合に帰着しようとしても座標の取り方に依存してしまうということです。解決方法は、座標ごとに微分方程式（クリストッフェル記号）をきめることで局所的な平行を定義し、それをのばして平行移動を定めるということです。ここでは座標に対して微分方程式を対応させる規則のことを接続といっていて、この対応規則は一般には無数にあり特別なものを決めることはできません。しかし例えばリーマン多様体の場合、特別な接続を選ぶことができます。（歴史的にはこれが最初に発見されたものでしょうか？この点については私はわからないです。）いずれにせよ、曲率や基本群に関する問題、リーマン多様体特有の問題（レヴィチビタ接続や測地線など）はわけたほうが理解しやすいのではないでしょうか。--Unaoya（会話） 2015年1月12日 (月) 19:16 (UTC)[返信]
歴史的に最初に導入されたのはユークリッド接続です。ユークリッド接続に計量条件（リッチの補定理）を付け加えたものがレヴィ・チヴィタ接続であるそうです。ユークリッド接続の基本アイディアは、レヴィ・チヴィタの平行性をごく近い２点の接平面の対応関係だと捉え直したところにあります。接続は結局ごく近い異なる２点の座標系をどうくっつけるかという条件でしかないと理解しているので様々な導入の仕方があります。例えば、曲線（path）を利用するプリンストン学派系のやりかたと、平行性を重視するヘルマン・ワイル（統一場理論をやった人です）系のやりかたなど。
内容ごとに分割することには賛成です。加えて、自分としては、とりあえず定義がわからないものは意味ないと思います。ざっくりでもまず定義をはっきりさせた記事であるべきではないでしょうか。--I.hidekazu（会話） 2015年1月13日 (火) 13:20 (UTC)[返信]
Unaoyaさん、ちょうど一年前の経緯（接続 (主バンドル)のノート欄）を踏まえていただきありがとうございます．本記事は、『動機が何か』ではと思います．Riemann多様体の場合には特別な接続を一意に選択できるというところまでを期待します．--Enyokoyama（会話） 2015年1月13日 (火) 17:02 (UTC)[返信]

改名提案[編集]

当該記事を「接続 (微分幾何学)」に改名することを提案します。理由は、内容が幾何学の中でも微分幾何学に限定されているためです。--I.hidekazu（会話） 2021年10月14日 (木) 14:20 (UTC)[返信]

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