ノントーティエント

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ノントーティエント: nontotient)は、自然数の内、オイラーのトーティエント関数φの値域に含まれない数であり、 φ(x)=n においてどのような自然数xもこの方程式を満たさないような自然数nのことである。言い換えると、全てのxにおいて「x以下の数で互いに素である自然数の個数」(=φ(x))がn個ではないようなnがノントーティエントである。また、ノントーティエントでないものをトーティエントと呼ぶことがある。

1は φ(x)=1 において x=1,2 というをもつのでノントーティエントではない。しかし1を除く全ての奇数はノントーティエントである。偶数のノントーティエントは無数に存在し、その内最小の数である14から小さい順に列記すると

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, …

ノントーティエントの集合は密度1を持つ。つまり殆ど全ての数はノントーティエントである。しかし、pを素数とすると、p-1はノントーティエントでないから、トーティエントの逆数の和は発散する。

2pがノントーティエントであることと、2p+1が合成数であることは同値である。特に、2pがトーティエントであるとき、pはソフィー・ジェルマン素数である。また、4pがノントーティエントであることと、2p+1,4p+1がともに合成数であることも同値である。

φ(p)=p-1 となるため、p-1で表される数はノントーティエントではない。またφ(p2)=(p-1)p であるため、(p-1)pの形で表される矩形数もノントーティエントではない。さらにp-1で表される異なる数同士の積もノントーティエントにはならない。

関連項目[編集]