ノイマン級数

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関数解析学において、ノイマン級数(ノイマンきゅうすう、: Neumann series)とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。

定義[編集]

Aバナッハ空間X での有界な線形作用素とする(A ∈ B(X ))。このとき、A作用素ノルム||A ||が||A ||<1を満たすならば、恒等作用素I との差で与えられるI -A1対1で(I -A )-1が有界作用素として存在するとともに、


\begin{align}
(I-A)^{-1}
& = I+A+A^2+A^3+ \cdots \\
& = \sum_{n=0}^{\infty}A^n
\end{align}

が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは


||(I-A)^{-1}|| \leq \frac{1}{1-||A||}

と評価される。

これは、|x |<1なるx ∈ Cについての無限級数


\frac{1}{1-x}=1+x + x^2 + x^3 + \cdots

の作用素への拡張になっている。

特にzCと有界作用素A について、|z |>||A ||であれば、レゾルベント作用素(z I -A )-1が存在し、


(z I-A)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+1} } A^n

及び


||(z I-A)^{-1}|| \leq \frac{1}{|z|} \frac{1}{ 1-\frac{||A||}{|z|} }

が成り立つ。

逐次近似との関係[編集]

バナッハ空間X の元uv と線形作用素A で与えられる方程式

 u=Au+v \,

を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は

(I-A)u=v \,

と変形できることから、逆作用素(I -A )-1が存在し、それが求まれば、問題は解ける。 一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、


\begin{align}
u & = A(Au+v)+v \\
  & = A^2(Au+v)+Av+v \\
  &= v+ Av + \cdots + A^nv +A^{n+1}u
\end{align}

となる。従って、An+1u の項が無視できるとすると

u_n:=\sum_{i=0}^n A^i v

で定義されるunが逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n→∞で逐次近似解unが真の解となり、

u = (I-A)^{-1}v = v +Av + A^2v + \cdots

となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解unの誤差評価を行うこともでき、


||u-u_n|| \leq \sum_{i=n+1}^{\infty} ||A||^i \cdot||v||
 = \frac{||A||^{n+1} }{1-||A||} ||v||

である。

積分方程式への応用[編集]

バナッハ空間X を有限区間[a,b ]上の連続関数からなる関数空間C([a, b ])とし、 K (x, y )を[a, b ]×[a, b ]で定義された連続関数、f (x )を[a, b ]上の連続関数(f ∈ C([a, b ]))とする。このとき、C([a, b ]))において、フレドホルム型積分方程式


u(x)- \lambda \int_a^b K(x,y)u(y)dy =f(x)

を考える。ここで、


Ku:= \int_a^b K(x,y)u(y)dy

としたときに、|λ|・||K || < 1の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、


\begin{align}
u &= (1- \lambda K)^{-1} f \\
&=f + \lambda K f + \lambda^2 K^2 f + \cdots \\
&= f(x) + \lambda \int_a^b K(x,y) f(y)dy 
+ \lambda^2 \int_a^b \biggl ( \int_a^b K(x,y)K(z,y)dz \biggr ) f(y)dy  + \cdots
\end{align}

と表すことができる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]