ナビエ-ストークス方程式

ナビエ-ストークス方程式（ナビエ-ストークスほうていしき、Navier-Stokes equations）は流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた。NS方程式とも略される。ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則をあらわす。

ナビエ-ストークス方程式の導出

運動量の保存則

$\;\frac{D v_i}{D t} = F_i + \frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_k}p_{ik},\quad(i,k\in\{1,2,3\}),\;$

を書きかえる。ここで、左辺はラグランジュ微分

$\;\frac{D}{D t} := \frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla},\;$

$\;\boldsymbol{v}=(v_i)\;$、$\;\boldsymbol{F}=(F_i)\;$、 $\;\rho\;$、$\;p_{ik}\;$はそれぞれ、流速、単位質量あたりに働く外力(加速度)、密度、応力テンソルである。 今、ニュートン流体を仮定して

$\; p_{ik}= -\left(p + \frac{2}{3}\mu \Theta\right)\delta_{ik} + \mu e_{ik},\;$

に置きかえる。ここで、$\;\delta_{ik}\;$、$\;p\;$、$\;\mu\;$はそれぞれ、クロネッカーのデルタ、圧力、粘性率である。 また、$\;e_{ik}\;$は変形速度テンソル、

$\;e_{ik} := \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i},\;$

$\;\Theta\;$は、

$\;\Theta := \boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{v} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^3 e_{kk},\;$

で定義される。 これを元の式に代入すると、

$\;\rho \left(\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} - \boldsymbol{v}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{v}\right) +\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}q^2\right) = \rho \boldsymbol{F} - \boldsymbol{\nabla}p + \frac{4}{3}\boldsymbol{\nabla}\mu\Theta+\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\mu) - \boldsymbol{v}\boldsymbol{\nabla}^2 \mu + \boldsymbol{\nabla}\mu \times (\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{v}) - \Theta \boldsymbol{\nabla}\mu -\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\times \mu \boldsymbol{v},\;$

を得る。ただし、$\;q:=|\boldsymbol{v}|\;$は流速の大きさである。この方程式をナヴィエ-ストークス方程式という。この方程式は複雑すぎて解を求めることは困難であるので、いくつかの仮定をして問題を単純化することが多い。 代表的な単純化は、

• 粘性率が一定の圧縮性流体($\;\mu=\text{const.}\;$)
• 粘性率が一定の非圧縮性流体($\;\mu=\text{const.}\;$、$\;\rho=\text{const.}\;$)
• 粘性のない圧縮性流体($\;\mu=0\;$)

である。

一般解

しばしば用いられる条件である、非圧縮性流れ($\;\rho=\text{const.}\;$)の場合、ナビエ-ストークス方程式は

$\frac{ \partial \boldsymbol{v} }{ \partial t } + ( \boldsymbol{v} \cdot \nabla )\boldsymbol{v} = -\frac{ 1 }{ \rho } \nabla p + \nu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{F}$

と簡単化される。ここで$\;\nu:=\mu / \rho\;$は動粘性係数である。各項はそれぞれ、

• 左辺 - 第1項 : 時間[微分]項、第2項 : 移流項（対流項）
• 右辺 - 第1項 : 圧力項、第2項 : 粘性項（拡散項）、第3項 : 外力項

と呼ばれる。外力項には、状況によって、重力をはじめ浮力・表面張力・電磁気力などが該当する。

上記の、非圧縮性流れに対するナビエ-ストークス方程式は、未知数として圧力$\;p\;$ と流速$\;\boldsymbol{v}\;$ を含んでいる。したがって未知数決定に必要な方程式の数が足りない。そこで、質量保存則から導かれる連続の式（非圧縮性流れについては次の形）

$\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \mathrm{div} \, \boldsymbol{v} = 0 \quad \text{(非圧縮性流れ)}$

と連立することによって、原理的には解くことが可能である。もし一般解が求まれば、流体の挙動を完全に知る事ができることになる。しかし、未だ一般解は見つかっておらず、そもそも解の存在性といった面で謎が残り、物理学と数学の懸案事項の一つとなっている（ミレニアム懸賞問題）。したがって特殊な条件の問題を除いて、一般には次に示すように数値計算によって近似的に解かれる。

数値シミュレーション

流体の数値シミュレーション（数値流体力学、CFD）では、このナビエ-ストークス方程式と連続の式、その他必要に応じてエネルギーの式（熱対流）やマクスウェルの方程式（電磁流体力学）、状態方程式などを連立して、数値的に解くことで流体の挙動を予測する。

移流と拡散両方に関係している現象であるので、クーラン数、拡散数の両方を満たすようにシミュレーションを行う必要がある。

非線型性（乱流）

移流と粘性の強さの比率はレイノルズ数と呼ばれる無次元数であり、レイノルズ数がある閾値を越えると微小なかく乱が移流項の非線型性により拡大していくことで流れ場は非定常な乱流となる。

一方、右辺の粘性率を含む項（粘性項）は乱流の変動を抑制する効果を持つ。

関係のある方程式

粘性のない圧縮性流体($\;\mu=0\;$)を仮定して得られる式はオイラー方程式と呼ばれている。

また、上のナビエ-ストークス方程式において非線型項

$\left( \boldsymbol{v} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{v}$

を無視した方程式

$\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} =\triangle \boldsymbol{v} - \nabla p +\boldsymbol{F} \left( t,x \right)$

をストークス方程式（Stokes equations）と呼ぶ。ストークス方程式は流体の速度が遅いときナビエ-ストークス方程式を近似する方程式として扱われている。

関連項目

• 流体力学
• バーガース方程式

外部リンク

• 京都大学 Navier-Stokes方程式の数理とその応用プロジェクト