トロピカル数学

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A tropical cubic curve

トロピカル数学 は南米ではじまった新しい演算規則に関わる数学のことで、和を最小値関数(または最大値関数)、積を通常の和に変更したものである。特にアメーバや代数幾何学や超離散との関連が深い。トロピカルという呼称は、ブラジル人数学者・計算機科学者のImre Simon英語版 氏にちなむ。

定義[編集]

\mathbb{R} \cup \{\infty\} に以下の演算

 x \oplus y = \min\{\, x, y \,\},
 x \otimes y = x + y

を入れると、∞を零元、0を単位元とする可換な冪等半環となる。 (\mathbb{R} \cup \{\infty\}, \oplus, \otimes)トロピカル半環(或いは min-plus 代数)という。 (\mathbb{R} \cup \{-\infty\} に最大値関数による和、通常の和による積を入れたものをトロピカル半環ということもある。)

トロピカル半環上の多項式をトロピカル多項式という。 トロピカル多項式の和と積は次数ごとに上と同様に定義する。 トロピカル多項式は、関数としては区分線形な関数であるが、その関数の可微分でない点をトロピカル多項式の零点という。零点集合はトロピカル超曲面をなす。

参考文献[編集]

  • Bogart, Tristram; Jensen, Anders; Speyer, David; Sturmfels, Bernd; Thomas, Rehka (2005年). “Computing Tropical Varieties”. arXiv:math/0507563v1 [math.AG]. 
  • Einsiedler, Manfred; Kapranov, Mikhail; Lind, Douglas (2005年). “Non-archimedean amoebas and tropical varieties”. arXiv:math/0408311v2 [math.AG]. 
  • Gathmann, Andreas (2006年). “Tropical algebraic geometry”. arXiv:math/0601322v1 [math.AG]. 
  • Gross, Mark (2010). Tropical geometry and mirror symmetry. Providence, R.I.: Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society with support from the National Science Foundation. ISBN 9780821852323. 
  • Itenberg, Illia; Grigory Mikhalkin, Eugenii Shustin (2009). Tropical algebraic geometry (2nd ed.). Basel: Birkhäuser Basel. ISBN 9783034600484. 
  • Mikhalkin, Grigory (2006年). “Tropical Geometry and its applications”. arXiv:math/0601041v2 [math.AG]. 
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  • Mikhalkin, Grigory (2004年). “Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry”. arXiv:math/0403015v1 [math.AG]. 
  • Nishinou, Takeo; Siebert, Bernd (2004年). “Toric degenerations of toric varieties and tropical curves”. arXiv:math/0409060v3 [math.AG]. 
  • Pachter, L.; Sturmfels, Bernd (2004). “Tropical geometry of statistical models”. Proceedings of the National Academy of Sciences 101 (46): 16132–16137. doi:10.1073/pnas.0406010101. 
  • Speyer, David E. (2003年). “The Tropical Grassmannian”. arXiv:math/0304218v3 [math.AG]. 
  • Speyer, David; Sturmfels, Bernd (2004年). “Tropical Mathematics”. arXiv:math/0408099v1 [math.AG]. 
  • Theobald, Thorsten (2003年). “First steps in tropical geometry”. arXiv:math/0306366v2 [math.AG]. 

外部リンク[編集]