デデキントゼータ関数

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デデキントゼータ関数(-かんすう、: Dedekind's zeta function)とは、

代数体 K に対して


\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a}}\frac{1}{(N\mathfrak{a})^s}

で表される関数のことをいう。但し、和は K の整イデアル[1]全てを動き、\scriptstyle N\mathfrak{a} は整イデアル \mathfrak{a}ノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。 特に、K有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。

与えられた整数 n に対して、ノルムが n である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、 デデキントゼータ関数は、


\zeta_K(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{n^s}\ \ \ \ (F_n\in\mathbb{Z})

と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。

デデキントゼータ関数は、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1 に対して、絶対かつ一様収束する。従って、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1 で、\zeta_K(s)正則関数である。

関数等式[編集]

n 次代数体 K に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす:


\zeta_K(1-s) = |D_K|^{s-1/2}\left(\cos\frac{\pi s}{2}\right)^{r_1+r_2}\left(\sin\frac{\pi s}{2}\right)^{r_2}(2(2\pi)^{-s}\Gamma(s))^n\zeta_K(s)

但し、r_1,\ 2r_2K実共役体虚共役体の個数とする。

特に、K を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式


\zeta(1-s) = 2(2\pi)^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(s)\ \zeta(s)

が成立する。

さらに、\zeta_K(s) に対する、代数体 K の完全ゼータ関数を


Z_K(s) = |D_K|^{s/2}2^{-(s-1)r_2}\pi^{-ns/2}\Gamma(s/2)^{r_1}\Gamma(s)^{r_2}\zeta_K(s)

とおけば[2]、関数等式


Z_K(1-s) = Z_K(s)

を満たし、\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\}解析接続できる。従って、\zeta_K(s)\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\} まで解析接続できる。

解析接続できない s=1 では、デデキントゼータ関数は 1 位ので、留数


\kappa = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}}{w|D_K|^{1/2}}h_KR

である。つまり、


\zeta_K(s) = \frac{\kappa}{s-1} + O(1)\ \ \ (s\to 1+0)

である。[3]

ただし、r_1,\ 2r_2K の実共役体、虚共役体の個数、w は、K に含まれる 1 のベキ根の個数、h_K,\ R は、それぞれ K類数単数基準とする。

デデキントゼータ関数の零点[編集]

(1) 自明な零点

\zeta_K(s)\zeta_K(1-s) との関係式から自明な零点を求めることができる。
  • K総実体のとき
    任意の正整数 k に対して、\zeta_K(-2k) = 0
  • K総実体ではないとき
    任意の正整数 k に対して、\zeta_K(-k) = 0

(2) 非自明な零点

s が、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > 0 である零点とすれば、\scriptstyle Rs\ s=1/2 であると予想されている。これを拡張されたリーマン予想という。リーマンゼータ関数に対するリーマン予想をその特別な場合として含む予想であり、現在でも未解決である。

オイラー積[編集]

任意の整イデアルは、素イデアルの積で表すことができるので、デデキントゼータ関数は、以下のオイラー積表示を持つ。

\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1 のとき、


\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}}\frac{1}{1 - (N\mathfrak{p})^{-s}}

ただし、積は K の素イデアル全てを動くものとする。

ディリクレのL関数との関係[編集]

デデキントゼータ関数のオイラー積表示により、素イデアルのノルムの値からデデキントゼータ関数を具体的に計算することができる。素イデアルのノルムは、有理素数[4]の素イデアル分解の結果から求めることができるが、K が一般の代数体の場合、素イデアル分解が複雑であるので、具体的に計算することは大変難しい。 しかし、K二次体または円分体であれば、素イデアル分解の様子がよく分かっているので、オイラー積を計算することができ、その結果、デデキントゼータ関数をディリクレのL関数を用いて表現することができることが知られている。

(1) K が二次体の場合

K の判別式を D とし、\chi_D を法 D に関するクロネッカー指標とすると、


\zeta_K(s) = \zeta(s)L(\chi_D,\ s)

が成立する。

(2) K が円分体の場合

\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\zeta_m) (m>2) とする。


\zeta_K(s) = \prod_{\chi}L(\chi, s) = \zeta(s)\!\!\prod_{\chi\ne\chi_0}\!\!L(\chi, s)

が成立する。ここで、最初の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標全てにわたる積とし、二番目の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標のうち、単位指標以外のもの全てにわたる積である。

さらに、任意の有理数体のアーベル拡大体 K は、ある円分体の部分体であるので(クロネッカー=ウェーバーの定理)、上のことから、\zeta_K(s) は、いくつかのディリクレL関数の積で表すことができる。

応用例[編集]

デデキントゼータ関数を用いた応用例として、2つの平方数の和で表す方法の数を求めてみることにする。

これはヤコビの二平方定理として知られ、いろいろな証明方法が知られているが(ヤコビの二平方定理の証明を参照)、ここでは、デデキントゼータ関数を使った方法で証明してみる。

\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1}) とおき、K 上のデデキントゼータ関数 \zeta_K(s) を二通りの方法で計算する。

まずは、ディリクレ級数の形でデデキントゼータ関数を表し、その係数を求めてみる。


\zeta_K(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{n^s}\ \ \ \ (F_n\in\mathbb{Z})

とおくと、

F_n = \frac{1}{4}\#\{(a, b)| a^2 + b^2 = n,\ a,\ b \in\mathbb{Z} \}[5]

が成立するので、F_n は、n を2つの平方数の和で表す方法の数の4倍に等しい。慣例に従って、2つの平方数の和で表す方法の数を r_2(n) と書くと、


\zeta_K(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/4)r_2(n)}{n^s}

と表される。

さて、K は二次体であるので、\zeta_K(s) は、リーマンゼータ関数と、クロネッカー指標からなるディリクレL関数の積で表される。\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1}) のクロネッカー指標を具体的に求めることにより、


\zeta_K(s) = \zeta(s)\!\!\!\!\!\!\!\prod_{p;\operatorname{odd}\ \operatorname{prime}}\!\!\!\!\!\!\!\left(1-(-1)^{(p-1)/2}p^{-s}\right)

が成立する。二通りに表された \zeta_K(s) を比較することにより、


r_2(n) = 4\sum_{2\nmid d|n}(-1)^{(d-1)/2}

が成立する。これはヤコビの二平方定理に他ならない。

さらなる応用として、K を別の二次体 \scriptstyle(\mathbb{Q}(\sqrt{-2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) にすることで、上と同じ方法で、\scriptstyle x^2+2y^2,\ x^2+3y^2 の形での表し方の数を求めることができる。

注釈[編集]

  1. ^ K整数環のイデアルのこと。
  2. ^ K を有理数体にすれば、完備化されたゼータ関数になる。
  3. ^ K を有理数体にすれば、\kappa = 1 であるので、リーマンゼータ関数に対する s=1 の留数に等しい。
  4. ^ 有理整数である素数のこと。
  5. ^ 4 で割るのは、\scriptstyle a+bi,\ -a-bi,\ b-ai,\ -b+ai が全て同じイデアルに属するからである。

参考文献[編集]

  • ノイキルヒ, J. 『代数的整数論』 足立恒雄(監修)・梅垣敦紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年

関連項目[編集]