ツィオルコフスキーの公式

ツィオルコフスキーの公式（ツィオルコフスキーのこうしき）は、1897年にコンスタンチン・ツィオルコフスキーによって示されたロケット推進に関する公式である。

ロケットの初期の質量をm₀、時間T経過後の質量をm_T、質量変化は推進剤として速度wで噴射されたものとすると、時間T経過後のロケットの速度変化分ΔVは次の式で表される。

$\Delta V = w\ln\frac{m_0}{m_T}$

導出

質量がm、推進剤の噴射速度がwであるロケットを考える。微少な時間Δtの間に噴射する推進剤の質量をΔm、その推進剤の噴射による増速度をΔvとすると、運動量保存則により、これらの量について次式のような関係が成り立つ。

$m\Delta v = -\Delta m w\,$

これを微分方程式とみて、増速度の合計（積分）をとるために式を変形すると、

$\int dv = -w\int\frac{1}{m}dm$

これを、ロケットの初速度を0、初期の質量をm₀、時間T経過後の質量をm_Tとして解くと、

$v = w\ln\frac{m_0}{m_T}$

となり、時間T経過後のロケットの速度vが導出できる。

上記式の m₀/m_T を質量比と呼ぶ。式から判るとおり、噴射速度と質量比が高いほど、最終的な到達速度も高くなる。それは逆に、到達速度を高くするには、噴射速度か質量比を上げなければならないことを意味する。

また、ロケットの性能を示すのによく使われる、噴射速度を重力加速度で割った値とみることのできる値比推力 Isp を導入すると、重力加速度 g も使って、

$v = Isp \cdot g \ln \frac{m_0}{m_T}$

となる。

例1 単段式ロケット

LE-7Aエンジン（液体酸素・液体水素を推進剤とし、比推力440s）を使用した60tのSSTOを、衛星軌道に到達させるために第一宇宙速度7.9km/sまで加速したい場合、推進剤も含めた打ち上げ時の総質量は、

$m_0 = m_T \cdot \exp \left(\frac{\Delta V}{I_{sp}\,g}\right) = 60 \cdot \exp \left(\frac{7900}{440 \cdot 9.8}\right) = 374.8$

から375tとなり、自重を引くことで最低でも315tの推進剤が必要なことがわかる。この自重の中には、膨大な量の推進剤を入れておく燃料タンクやエンジン、軌道へ運ぶペイロードその他の構造物の質量が含まれる。

また、地球表面からロケットを打ち上げる場合には、実際には大気内でロケットエンジンを作動させることによる損失や、重力による損失など様々な要因による損失があり、それらを考慮する必要がある。

例2 多段式ロケット

例1と同じく、LE-7Aエンジン（比推力440s）を用いたロケットを考える。打ち上げ時質量100t、ペイロード含む構造質量20t（質量比5）の1段式ロケットの速度増分は、

$\Delta V = I_{sp}\,g\,\ln\frac{m_0}{m_T} = 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{100}{20} = 6940$

となり、約6.9km/sの速度を得る。

次に、第1段、第2段ともに打ち上げ時質量50t、ペイロード含む構造質量10t（各段の質量比5は上の1段式ロケットと変わらない）で、ロケット全体の打ち上げ時質量が100tである2段式ロケットを考える。ツィオルコフスキーの公式の導出と同じ考え方でこの2段式ロケットの速度増分を求めると、

$\Delta V = I_{sp1}\,g\,\ln\frac{m_{01}}{m_{T1}} + I_{sp2}\,g\,\ln\frac{m_{02}}{m_{T2}} = 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{100}{60} + 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{50}{10} = 9140$

となり、約9.1km/sという、1段式ロケットと同じ質量比のロケットでありながらも1段式ロケットよりもはるかに大きな速度を得る。この利点のため、現時点ですべての衛星打ち上げ機は多段式ロケットである。

関連項目

• 比推力