ツィオルコフスキーの公式

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ツィオルコフスキーの公式(ツィオルコフスキーのこうしき)は、1897年コンスタンチン・ツィオルコフスキーによって示されたロケット推進に関する公式である。

ロケットの初期の質量m0、時間T経過後の質量をmT、質量変化は推進剤として速度wで噴射されたものとすると、時間T経過後のロケットの速度変化分ΔVは次の式で表される(lnは自然対数)。

\Delta V  = w\ln\frac{m_0}{m_T}

導出[編集]

質量がm、推進剤の噴射速度がwであるロケットを考える。微少な時間Δtの間に噴射する推進剤の質量をΔm、その推進剤の噴射による増速度をΔvとすると、運動量保存則により、これらの量について次式のような関係が成り立つ。

m\Delta v = -\Delta m w\,

これを微分方程式とみて、増速度の合計(積分)をとるために式を変形すると、

\int dv = -w\int\frac{1}{m}dm

これを、ロケットの初速度を0、初期の質量をm0、時間T経過後の質量をmTとして解くと、

v = w\ln\frac{m_0}{m_T}

となり、時間T経過後のロケットの速度vが導出できる。

上記式の m0/mT質量比と呼ぶ。式から判るとおり、噴射速度と質量比が高いほど、最終的な到達速度も高くなる。それは逆に、到達速度を高くするには、噴射速度か質量比を上げなければならないことを意味する。

また、ロケットの性能を示すのによく使われる、噴射速度を重力加速度で割った値とみることのできる値比推力 Isp を導入すると、重力加速度 g も使って、

v = Isp \cdot g \ln \frac{m_0}{m_T}

となる。

例1 打ち上げ時の総質量[編集]

LE-7Aエンジン液体酸素液体水素推進剤とし、比推力440s)を使用した60tのSSTOを、衛星軌道に到達させるために第一宇宙速度7.9km/sまで加速したい場合、推進剤も含めた打ち上げ時の総質量は、

m_0 = m_T \cdot \exp \left(\frac{\Delta V}{I_{sp}\,g}\right) = 60 \cdot \exp \left(\frac{7900}{440 \cdot 9.8}\right) = 374.8

から375tとなり、自重を引くことで最低でも315tの推進剤が必要なことがわかる。この自重の中には、膨大な量の推進剤を入れておく燃料タンクやエンジン、軌道へ運ぶペイロードその他の構造物の質量が含まれる。質量比は6.25となる。(地球の大気や自転の影響を無視して加速を水平方向にした場合、地表面すれすれにを回る衛星として存在できる。)

なお、地表からの打ち上げでは大気の影響を避けるため、まず垂直方向に打ち上げる。この場合、自重以上の推力(LE-7Aエンジン1機の推力は100t程度)が無ければ、重力のために1mmたりとも昇がらない(専門用語では重力による損をまとめて重力損失と言う)し、空気抵抗、推力損失(大気圧中でロケットエンジンを使用することによる損失)もある。(実際の離床にはSSTOにLE-7Aを複数付けることや固体ロケットブースターが必須である。)また、SSTOに翼を付け揚力を得て水平に加速すれば、自重以上の推力は必ずしも必要はないが、空気抵抗や推力損失がより大きくなる。宇宙速度に達するための推進剤のほかに、その高度に達するまでの推進剤が必要となる。上記の計算にはそれらは全く入っていないので注意。

例2 多段式ロケット[編集]

例1と同じく、LE-7Aエンジン(比推力440s)を用いたロケットを考える。打ち上げ時質量100t、ペイロード含む構造質量20t(質量比5)の1段式ロケットの速度増分は、

\Delta V = I_{sp}\,g\,\ln\frac{m_0}{m_T} = 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{100}{20} = 6940

となり、約6.9km/sの速度を得る。

次に、第1段、第2段ともに打ち上げ時質量50t、ペイロード含む構造質量10t(各段の質量比5は上の1段式ロケットと変わらない)で、ロケット全体の打ち上げ時質量が100tである2段式ロケットを考える。ツィオルコフスキーの公式の導出と同じ考え方でこの2段式ロケットの速度増分を求めると、

\Delta V = I_{sp1}\,g\,\ln\frac{m_{01}}{m_{T1}} + I_{sp2}\,g\,\ln\frac{m_{02}}{m_{T2}} = 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{100}{60} + 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{50}{10} = 9140

となり、約9.1km/sという、1段式ロケットと同じ質量比のロケットでありながらも1段式ロケットよりもはるかに大きな速度を得る。この利点のため、現時点ですべての衛星打ち上げ機は多段式ロケットである。

関連項目[編集]