ダルブーの定理

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ダルブーの定理(Darboux's theorem)は、微分幾何学の分野の定理で、微分形式に特に関係している。部分的にはフロベニウス積分定理英語版の一般化となっている。いくつかの分野の基本的結果であり、シンプレクティック幾何学では主要な結果である。定理は、ジャン・ダルブー(Jean Gaston Darboux) [1] の名前にちなんでいて、彼はこの定理をパッフ(Pfaf)英語版[2]の問題の解として導出した。

この定理の多くの結果のうちの一つは、任意の 2つの同一次元のシンプレクティック多様体は、互いに局所シンプレクティック同相である。すなわち、全ての 2n-次元のシンプレクティック多様体は、局所的には標準のシンプレクティック形式を持つシンプレクティックベクトル空間 Cn となっていると考えることができる。また、この定理の類似として接触幾何学英語版(contact geometry)へ応用されるものもある。

最初の結果と結果の記述[編集]

この定理の、詳細な記述は次のようになる[3]。θ を n 次元多様体の微分 1-形式で、dθ がランク p を定数として持つ。どこでも

θ ∧ (dθ)p = 0,

であれば、局所座標系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp が存在し、そこでは、

θ = x1 dy1 + ... + xp dyp

となる。他方、どこでも

θ ∧ (dθ)p ≠ 0,

であれば、局所座標系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp が存在し、そこでは、

θ = x1 dy1 + ... + xp dyp + dxp+1.

特に、ω を n = 2m 次元多様体 M 上のシンプレクティック 2-形式とすると、ポアンカレの補題により、それぞれの M の点 p の近傍で、dθ=ω となる 1-形式 θ が存在する。さらに、θ はダルブーの定理の前提の第一番目を満たし、p の近傍に局所座標系(chart) U が存在し、その中で、

θ = x1 dy1 + ... + xm dym

が成り立つ。外微分をとると、

ω = dθ = dx1 ∧ dy1 + ... + dxm ∧ dym

となる。局所座標 U は、p の近傍のダルブー座標(Darboux chart)と言われる。[4] 多様体 M はそのような局所座標により覆われる

別な言い方をすると、R2mCm を zj = xj + i yj により同一視する。φ : U → Cn がダルブー座標であれば、ω は Cn 上の標準シンプレクティック形式 ω0引き戻し英語版(pullback)となる。

\omega = \phi^{*}\omega_0.

リーマン幾何学との比較[編集]

この結果は、シンプレクティック幾何学には局所不変量がないことを意味する。ダルブー基底英語版(Darboux basis)はどのような場合でも取ることができて、任意の与えられた点の近傍で有効である。このことは、リーマン曲率が局所不変であり、局所的には座標に沿った微分の二乗の和である計量への障害となっているリーマン幾何学の状況とは、極めて対照的である。

この差異のことを、ダルブーの定理では p の近傍全体の中の標準形式として ω を取ることができるということができることに対し、リーマン幾何学では、与えらた任意の点標準的にとることができるが、点の周りの近傍の中ではいつも成立するとは限らないことで示している。

参照項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Darboux (1882).
  2. ^ Pfaff (1814–1815).
  3. ^ Sternberg (1964) p. 140–141.
  4. ^ Cf. with McDuff and Salamon (1998) p. 96.

参考文献[編集]

  • Darboux, Gaston (1882). “Sur le problème de Pfaff”. Bull. Sci. Math. 6: 14–36, 49–68. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68005v. 
  • Pfaff, Johann Friedrich (1814–1815). “Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi”. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin: 76–136. 
  • Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 
  • McDuff, D. and Salamon, D. (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. ISBN 0-19-850451-9. 

外部リンク[編集]