スメイルの問題

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スメイルの問題(スメイルのもんだい、: Smale's problems)は、スティーヴン・スメイルによって2000年に提唱された18の数学上の未解決問題である[1]。スメイルは、ウラジーミル・アーノルドからの要請に答える形でこの問題の一覧を構成した。当時の国際数学連合の委員長の依頼により、アーノルドは何人かの数学者たちに21世紀に向けた問題の一覧を提言することを要請した。アーノルドの着想はヒルベルトの23の問題から来ている。

問題の一覧[編集]

# 問題 ステータス
1 リーマン予想ヒルベルトの第8問題も参照)
2 ポアンカレ予想 グリゴリー・ペレルマンにより証明済み
3 P = NPか?
4 1変数多項式の整数零点
5 ディオファントス曲線の高さ境界
6 天体力学における相対平衡数の有限性
7 2-球面上の点の分布
8 経済学理論への力学の導入
9 線形計画問題
10 Pughの閉補題
11 1次元力学系は一般に双曲型か?
12 微分同相写像の中心化群 C. Bonatti, S. CrovisierおよびA. WilkinsonによってC1トポロジーで解かれた[2]
13 ヒルベルトの第16問題
14 ローレンツアトラクター Warwick Tuckerにより区間演算英語版を使って解かれた[3]
15 ナビエ-ストークス方程式
16 ヤコビ予想Dixmier予想と等価)
17 多項式を、平均して多項式時間で解くこと Carlos Beltrán AlvarezおよびLuis Miguel Pardoは、スメイルの第17問題に対する同じ形の(平均ラスベガス法)アルゴリズムを発見した[4] [5]。スメイルの第17問題に対する決定論的アルゴリズムは未だ発見されていないが、部分的な解答はFelipe CuckerおよびPeter Bürgisserによって与えられている。彼らは、確率論的アルゴリズム à la Beltrán-Pardo平滑化解析を行い、次に N^{O(\log\log N)} の実行時間で動作する決定論的アルゴリズムを示した[6]
18 知能の限界

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Steve Smale (2000). “Mathematical problems for the next century”. Mathematics: frontiers and perspectives (Providence, RI: American Mathematics Society): 271–294. http://www6.cityu.edu.hk/ma/people/smale/pap104.pdf. 
  2. ^ C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson (2009). “The C1-generic diffeomorphism has trivial centralizer”. Publications mathématiques de l'IHÉS 109: 185–244. 
  3. ^ Warwick Tucker (2002). “A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem”. Foundations of Computational Mathematics 2 (1): 53–117. doi:10.1007/s002080010018. http://www.math.cornell.edu/~warwick/main/rodes/JFoCM.pdf. 
  4. ^ Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo (2008). “On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer”. Foundations of Computational Mathematics 8 (1): 1–43. doi:10.1007/s10208-005-0211-0. http://personales.unican.es/beltranc/archivos/Smale17FoCM.pdf. 
  5. ^ Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo (2009). “Smale's 17th Problem: Average Polynomial Time to compute affine and projective solutions”. Journal of the American Mathematical Society 22: 363--385. http://personales.unican.es/beltranc/archivos/AffSmale17JAMS.pdf. 
  6. ^ Felipe Cucker, Peter Bürgisser (2010). “Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem”. Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing. arXiv:0909.2114. 

外部リンク[編集]