スツルムリウビル型微分方程式

スツルムリウビル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、英: Sturm–Liouville equation）とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式

$- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ p(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right] + q(x) y = \lambda w(x) y$

(1 )

のことである。ここで y は関数であり、x は実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、 w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。

y = 0 (for ∀x )は任意のλに対して(1)の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。

予め決められた境界条件のもとで、自明でない(1)の解 y が存在するようなλを見つけることをスツルムリウビルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値、y を固有関数と呼ぶ。

例

微分方程式(1)の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式

$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,$

は以下のように、

$\begin{align} P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y&=0\\ \mathrm{e}^{\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm{d}x} \left( y''+ \frac{Q(x)}{P(x)}y' + \frac{R(x)}{P(x)} y \right) &=0\\ \left(\mathrm{e}^{\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm{d}x} y' \right)' + \mathrm{e}^{\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm{d}x} \frac{R(x)}{P(x)} y &=0 \end{align}$

Sturm–Liouville 形式に変形することができる。

たとえば ベッセル方程式

$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$

は

$(xy')'+xy =\frac{\nu^2}{x} y$

とSturm–Liouville 形式に変形できる。

その他の例としては、

ルジャンドルの微分方程式

$\left( (1-x^2)y'\right)' +\nu(\nu+1) y = 0$

エルミートの微分方程式

$\left( \mathrm{e}^{-x^2} y'\right)' +2\nu \mathrm{e}^{-x^2} y = 0$

ラゲールの微分方程式

$\left( x \mathrm{e}^{-x} y' \right)' +\nu \mathrm{e}^{-x} y = 0$

がある。

Sturm–Liouville 理論

p (x ) > 0, w (x ) > 0 が成り立ち、かつ、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が有限閉区間 [a, b]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件

$\alpha_{1}y(a)+\alpha_{2}y'(a)=0\qquad\qquad\qquad(\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}>0),$

(2)

$\beta_{1}y(b)+\beta_{2}y'(b)=0\qquad\qquad\qquad(\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}>0),$

(3)

を持つとき、この境界値問題をスツルム・リウビル型の境界値問題という。

スツルム・リウビル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論):

• 固有値はすべて実数で、離散的な値をとる。固有値は最小値をもつが最大値は持たない。
• 固有値を小さい順にλ₁ , λ₂ , λ₃ , ... と番号をつけると、固有値 λ_n に対応する固有関数 y_n (x ) は定数倍をのぞいて実関数として一意に存在し、開区間 (a, b) にn −1 個の零点を持つ。
• 規格化された固有関数は、境界条件(2)(3)を満たす関数のつくるヒルベルト空間において、正規直交基底を形成する。ただし、内積は $\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,\mathrm{d}x$ で定義される。

なお、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つと考えなければいけない。

関連項目

• ラゲールの陪多項式
• ルジャンドル陪関数

参考文献

• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/.  (Chapter 5)
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/.  (see Chapter 9 for singular S–L operators and connections with quantum mechanics)