スツルム=リウヴィル型微分方程式

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スツルム=リウヴィル型微分方程式(-がたびぶんほうていしき、: Sturm–Liouville equation)とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム英語版 (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式


 - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[
     p(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
   \right]
 + q(x) y 
 = \lambda w(x) y

 

 

 

 

(1 )

のことである。ここで y関数であり、x実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、 w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。

y = 0 (for ∀x )は任意のλに対して(1)の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。

予め決められた境界条件のもとで、自明でない(1)の解 y が存在するようなλを見つけることをスツルム=リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値y固有関数と呼ぶ。

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微分方程式(1)の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式

P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,

は以下のように、


\begin{align}
P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y&=0\\
\mathrm{e}^{\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm{d}x} \left(
y''+ \frac{Q(x)}{P(x)}y' + \frac{R(x)}{P(x)} y \right) &=0\\
\left(\mathrm{e}^{\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm{d}x} y' \right)' 
+ \mathrm{e}^{\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm{d}x} \frac{R(x)}{P(x)} y &=0
\end{align}

Sturm–Liouville 形式に変形することができる。

たとえば ベッセル方程式

x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0

(xy')'+xy =\frac{\nu^2}{x} y

とSturm–Liouville 形式に変形できる。

その他の例としては、

ルジャンドルの微分方程式

\left( (1-x^2)y'\right)' +\nu(\nu+1) y = 0

エルミートの微分方程式

\left( \mathrm{e}^{-x^2} y'\right)' +2\nu \mathrm{e}^{-x^2} y = 0

ラゲールの微分方程式

\left( x \mathrm{e}^{-x} y' \right)' +\nu \mathrm{e}^{-x} y = 0

がある。

Sturm–Liouville 理論[編集]

p (x ) > 0, w (x ) > 0 が成り立ち、かつ、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が有限閉区間 [ab]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件

 
\alpha_{1}y(a)+\alpha_{2}y'(a)=0\qquad\qquad\qquad(\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}>0),

 

 

 

 

(2)

 
\beta_{1}y(b)+\beta_{2}y'(b)=0\qquad\qquad\qquad(\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}>0),

 

 

 

 

(3)

を持つとき、この境界値問題をスツルム=リウヴィル型の境界値問題という。


スツルム=リウヴィル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論):

  • 固有値はすべて実数で、離散的な値をとる。固有値は最小値をもつが最大値は持たない。
  • 固有値を小さい順にλ1 , λ2 , λ3 , ... と番号をつけると、固有値 λn に対応する固有関数 yn (x ) は定数倍をのぞいて実関数として一意に存在し、開区間 (ab) にn −1 個の零点を持つ。
  • 規格化された固有関数は、境界条件(2)(3)を満たす関数のつくるヒルベルト空間において、正規直交基底を形成する。ただし、内積 \langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,\mathrm{d}x で定義される。


なお、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つ(弱解)と考えなければいけない。

関連項目[編集]

参考文献[編集]