スケールハイト

スケールハイト（英語：Scale height）とはある量が指数的に減少するときの距離を表す言葉として使われる。

惑星の大気について、垂直上向きに上昇するにつれて、大気圧は指数的に減少する。 スケールハイトをHとすると、それは次のように表すことができる。

$H=\frac{kT}{Mg}$

k:ボルツマン定数=1.38 x 10⁻²³

T:大気表面の平均の絶対温度

M:乾いた大気の平均分子量

g:惑星表面の重力加速度

大気の圧力は大気自身の重さにより生じている。もし、高度zにおける大気が密度ρ、圧力Pを持ち、上方向に微小量dzだけ動いたとき、dPの量だけ圧力が減少する。 つまり

$\frac{dP}{dz}=-g\rho$

ここでgは重力加速度を表しているが、微小のdzに対してはgは定数とみなせる。負の符号であるのは高度が上昇すると圧力が減少することを表している。

それゆえ理想気体の状態方程式を用いて、平均分子量をM、絶対温度をT,密度ρは次のように表される。

$\rho=\frac{MP}{kT}$

それゆえ方程式を組み合わせると,Hは上で与えられているので

$\frac{dP}{P}=-\frac{dz}{\frac{kT}{Mg}}=-\frac{dz}{H}$

ここで温度が変化しないと仮定している。 海面上(z=0)の圧力をP₀とおくと、高度zにおける圧力Pは

$P=P_{0}e^{-\frac{z}{H}}$

これより圧力Pが高度zについて指数的に減少していることが分かる。

地球について、海面上の圧力P₀はおよそ1.01×10⁵Paで乾いた大気の平均分子量は28.964u(uは原子質量単位)である。ここで28.964×1.660×10^-27=4.808×10^-26kgである。またg=9.81m/s²である。 地球大気のスケールハイトの温度を除いた部分は 1.38/(4.808×9.8)×10³=29.26m/K これは次のような関係を与える。

T=290K H=8500m

T=273K H=8000m

T=260K H=7610m

T=210K H=6000m

• 補足

1. 密度は理想気体の圧力の法則に従う。それゆえ高度により温度が変化する。また密度も高度とともに指数的に減少し、海面上では1.2kg m^-1である。
2. 100kmを超える大気では分子の凝縮によりそれぞれの分子、原子ごとに対してそれぞれのスケールハイトを持つ。