スキューズ数

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スキューズ数(スキューズすう、Skewes number)は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズ英語版素数の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。あるいは、π(x) > li(x) を満たす最小の自然数 x を指すこともある。ここに、π(x) は x 以下の素数の個数、li(x) は対数積分である。この意味でのスキューズ数は、1014 から 1.3983 × 10316 の間にあることが知られているが、正確にいくつであるかは不明である。

歴史[編集]

素数定理によれば、π(x) は漸近的に li(x) に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に x が小さいあいだは常に li(x) の方が大きいように見えるため、π(x) > li(x) となる x が存在するか、という問題が自然に考えられる。ガウスリーマンはそのような x は存在しない、と予想していた。スキューズの指導教官であるリトルウッドは、1914年の論文において、そのような x が存在することのみならず、π(x) − li(x) の符号は無限回変わることを示した。すなわち、π(x) と li(x) は無限回抜きつ抜かれつするのである。しかし、リトルウッドの証明は、いつ初めて π(x) が li(x) を追い抜くか、という見積もりを与えるようなものではなかった。

スキューズは、1933年の論文において、リーマン予想が真であるとの仮定の下に、π(x) > li(x) となる x は、次の数以下に存在することを証明した。

e^{e^{e^{79}}} \left( <10^{10^{10^{34}}} \right)

これがオリジナルのスキューズ数であり、第一スキューズ数とも呼ばれる。後にグラハム数などにその座を譲ることになるが、当時としては意味のある数学的議論に登場する最大の数であった。なお、この見積もりは非常に大雑把なものであり、後述のように評価は大幅に改良される。

スキューズは1955年には、リーマン予想を仮定することなしに、x は次の数以下に存在することを証明した。

e^{e^{e^{e^{7.705}}}} \left( <10^{10^{10^{963}}} \right)

これは第二スキューズ数と呼ばれる。表現のシンプルな評価 10^10^10^10^3 も第二スキューズ数としてしばしば言及される。

評価の改良[編集]

スキューズの与えたこれらの見積もりは非常に大きいため、より小さな評価を与える研究が進められた。それは、コンピュータを用いてリーマンゼータ関数零点を計算することによって行われる。Lehman (1966) が示したところによると、1.53 × 101165 から 1.65 × 101165 の間に π(x) > li(x) となるような整数 x が連続して 10500 個以上ある。H. J. J. te Riele (1987) は上からの評価を約 7 × 10370 にまで、Bays & Hudson (2000) は約 1.3983 × 10316 にまで下げ、その付近に π(x) > li(x) なる x が存在することを示した。

一方、Rosser & Schoenfeld (1962) は、x < 108 においては常に π(x) < li(x) であることを示した。この記録は Brent (1975) によって 8 × 1010 にまで、Kotnik (2008) によって 1014 にまで更新された。

正確にいつ初めて π(x) が li(x) が追い抜くのかは、未解決の問題である。それどころか、π(x) > li(x) となる具体的な x の値はひとつも知られていない。

Wintner (1941) は、π(x) > li(x) なる x の割合は正であることを示し、Rubinstein & Sarnak (1994) はその割合がおよそ 0.00000026 であることを示した。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]