ジョンソンの立体

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（ジョンソン多面体から転送）
正四角錐 (J1)。最初のジョンソンの立体。
三角広底球形屋根丸塔 (J92)。最後のジョンソンの立体。

ジョンソンの立体（ジョンソンのりったい、Johnson solid）、またはザルガラーの多面体（ザルガラーのためんたい、Zalgaller polyhedron）とは、整面凸多面体（せいめんとつためんたい、regular-faced convex polyhedron）のうち、正多面体、半正多面体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱以外のもの。

整面凸多面体とは、全ての面が正多角形で全ての辺の長さが等しい凸多面体である。なお、「ザルガラーの多面体」は整面凸多面体の意味で使うこともある。

ジョンソンの立体は全部で92種類ある。正多面体以外のデルタ多面体、ミラーの立体も含む。

正多面体・半正多面体のリストアップは比較的簡単だが、ジョンソンの立体のリストアップは簡単ではない。1966年、アメリカの数学者ノーマン・ジョンソン(Norman Johnson)が全92種を記した一覧表を発表し、それぞれに番号と名前を与えたが、これで全てだとの証明はされなかった。3年後の1969年、ヴィクター・アブラモヴィッチ・ザルガラー(Victor Abramovich Zalgaller)がコンピュータを駆使して、この一覧表が完全であることを証明した。

性質[編集]

面の種類は、1種類のもの（5種のデルタ多面体のみ）と複数種類のものとがある。

面の種類は、正三角形、正方形、正五角形、正六角形、正八角形、正十角形の6種類のみである。この性質は半正多面体にも共通する。これらの面は、正多面体が持つ3種類の面と、それらの辺の数を倍にしたものである。

正六角形、正八角形、正十角形の中では、最大1種類しか使われない。また、正 2n 角形（n ≥ 3）が使われているときは、正 n 角形も使われている。これらの性質は、半正多面体では成り立たない。

対称性はCyclicかDihedralである。これらは、正多面体や半正多面体のTetrahedralやOctahedralやIcosahedralより低い対称性であり、たとえば回転対称性については1本 (Cyclic) か2本 (Dihedral) しか軸を持たない。なお、アルキメデスの角柱やアルキメデスの反角柱の対称性はDihedralである。[疑問点 – ノート]

一覧[編集]

番号と英語の名称はジョンソンによる。日本語訳にはいくらか揺れがあるので注意されたい。n 番目のジョンソンの立体を Jn と書く。

  • 1-6（6種）: 角錐、台塔、丸塔
  • 7-17（11種）: 角錐柱、角錐反柱、双角錐
  • 18-48（31種）: 台塔と丸塔の変形
  • 49-57（9種）: 側錐角柱
  • 58-64（7種）: 正多面体の変形
  • 65-83（19種）: 半正多面体の変形
  • 84-92（9種）: その他

対称性はシェーンフリース記号で書かれている。ほかの記号法についてはList of spherical symmetry groups（3次元点群の一覧）に詳しい。

Jn 名称 展開図 投影図 頂
点 		辺 面 正 n 角形面 対
称
性 		その他の
性質
3 4 5 6 8 10
1 正四角錐
(square pyramid) 		5 8 5 4 1 C4v
2 正五角錐
(pentagonal pyramid) 		6 10 6 5 1 C5v
3 正三角台塔
(triangular cupola) 		9 15 8 4 3 1 C3v
4 正四角台塔
(square cupola) 		12 20 10 4 5 1 C4v
5 正五角台塔
(pentagonal cupola) 		15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 正五角丸塔
(pentagonal rotunda) 		20 35 17 10 6 1 C5v
7 正三角錐柱
(elongated triangular pyramid) 		7 12 7 4 3 C3v
8 正四角錐柱
(elongated square pyramid) 		9 16 9 4 5 C4v
9 正五角錐柱
(elongated pentagonal pyramid) 		11 20 11 5 5 1 C5v
10 正四角錐反柱
(gyroelongated square pyramid) 		9 20 13 12 1 C4v
11 正五角錐反柱
(gyroelongated pentagonal pyramid) 		11 25 16 15 1 C5v
12 双三角錐
(triangular dipyramid)
デルタ六面体 		5 9 6 6 D3h デルタ
多面体
13 双五角錐
(pentagonal dipyramid)
デルタ十面体 		7 15 10 10 D5h デルタ
多面体
14 双三角錐柱
(elongated triangular dipyramid) 		8 15 9 6 3 D3h
15 双四角錐柱
(elongated square dipyramid) 		10 20 12 8 4 D4h
16 双五角錐柱
(elongated pentagonal dipyramid) 		12 25 15 10 5 D5h
17 双四角錐反柱
(gyroelongated square dipyramid)
デルタ十六面体 		10 24 16 16 D4d デルタ
多面体
18 正三角台塔柱
(elongated triangular cupola) 		15 27 14 4 9 1 C3v
19 正四角台塔柱
(elongated square cupola) 		20 36 18 4 13 1 C4v
20 正五角台塔柱
(elongated pentagonal cupola) 		25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 正五角丸塔柱
(elongated pentagonal rotunda) 		30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 正三角台塔反柱
(gyroelongated triangular cupola) 		15 33 20 16 3 1 C3v
23 正四角台塔反柱
(gyroelongated square cupola) 		20 44 26 20 5 1 C4v
24 正五角台塔反柱
(gyroelongated pentagonal cupola) 		25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 正五角丸塔反柱
(gyroelongated pentagonal rotunda) 		30 65 37 30 6 1 C5v
26 異相双三角柱
(gyrobifastigium)
双側正三角柱 		8 14 8 4 4 D2d
27 同相双三角台塔
(triangular orthobicupola) 		12 24 14 8 6 D3h
28 同相双四角台塔
(square orthobicupola) 		16 32 18 8 10 D4h
29 異相双四角台塔
(square gyrobicupola) 		16 32 18 8 10 D4d
30 同相双五角台塔
(pentagonal orthobicupola) 		20 40 22 10 10 2 D5h
31 異相双五角台塔
(pentagonal gyrobicupola) 		20 40 22 10 10 2 D5d
32 同相五角台塔丸塔
(pentagonal orthocupolarotunda) 		25 50 27 15 5 7 C5v
33 異相五角台塔丸塔
(pentagonal gyrocupolarotunda) 		25 50 27 15 5 7 C5v
34 同相双五角丸塔
(pentagonal orthobirotunda) 		30 60 32 20 12 D5h
35 同相双三角台塔柱
(elongated triangular orthobicupola) 		18 36 20 8 12 D3h
36 異相双三角台塔柱
(elongated triangular gyrobicupola) 		18 36 20 8 12 D3d
37 異相双四角台塔柱
(elongated square gyrobicupola)
ミラーの立体 		24 48 26 8 18 D4d 全ての
頂点形状
が合同
38 同相双五角台塔柱
(elongated pentagonal orthobicupola) 		30 60 32 10 20 2 D5h
39 異相双五角台塔柱
(elongated pentagonal gyrobicupola) 		30 60 32 10 20 2 D5d
40 同相五角台塔丸塔柱
(elongated pentagonal orthocupolarotunda) 		35 70 37 15 15 7 C5v
41 異相五角台塔丸塔柱
(elongated pentagonal gyrocupolarotunda) 		35 70 37 15 15 7 C5v
42 同相双五角丸塔柱
(elongated pentagonal orthobirotunda) 		40 80 42 20 10 12 D5h
43 異相双五角丸塔柱
(elongated pentagonal gyrobirotunda) 		40 80 42 20 10 12 D5d
44 双三角台塔反柱
(gyroelongated triangular bicupola) 		18 42 26 20 6 D3 キラル
45 双四角台塔反柱
(gyroelongated square bicupola) 		24 56 34 24 10 D4 キラル
46 双五角台塔反柱
(gyroelongated pentagonal bicupola) 		30 70 42 30 10 2 D5 キラル
47 五角台塔丸塔反柱
(gyroelongated pentagonal cupolarotunda) 		35 80 47 35 5 7 C5 キラル
48 双五角丸塔反柱
(gyroelongated pentagonal birotunda) 		40 90 52 40 12 D5 キラル
49 側錐三角柱
(augmented triangular prism) 		7 13 8 6 2 C2v
50 二側錐三角柱
(biaugmented triangular prism) 		8 17 11 10 1 C2v
51 三側錐三角柱
(triaugmented triangular prism)
デルタ十四面体 		9 21 14 14 D3h デルタ
多面体
52 側錐五角柱
(augmented pentagonal prism) 		11 19 10 4 4 2 C2v
53 二側錐五角柱
(biaugmented pentagonal prism) 		12 23 13 8 3 2 C2v
54 側錐六角柱
(augmented hexagonal prism) 		13 22 11 4 5 2 C2v
55 双側錐六角柱
(parabiaugmented hexagonal prism) 		14 26 14 8 4 2 D2h
56 二側錐六角柱
(metabiaugmented hexagonal prism) 		14 26 14 8 4 2 C2v
57 三側錐六角柱
(triaugmented hexagonal prism) 		15 30 17 12 3 2 D3h
58 側錐十二面体
(augmented dodecahedron) 		21 35 16 5 11 C5v
59 双側錐十二面体
(parabiaugmented dodecahedron) 		22 40 20 10 10 D5d
60 二側錐十二面体
(metabiaugmented dodecahedron) 		22 40 20 10 10 C2v
61 三側錐十二面体
(triaugmented dodecahedron) 		23 45 24 15 9 C3v
62 二側錐欠損二十面体
(metabidiminished icosahedron) 		10 20 12 10 2 C2v
63 三側錐欠損二十面体
(tridiminished icosahedron) 		9 15 8 5 3 C3v
64 側錐三側錐欠損二十面体
(augmented tridiminished icosahedron) 		10 18 10 7 3 C3v
65 側台塔切頂四面体
(augmented truncated tetrahedron) 		15 27 14 8 3 3 C3v
66 側台塔切頂立方体
(augmented truncated cube) 		28 48 22 12 5 5 C4v
67 双側台塔切頂立方体
(biaugmented truncated cube) 		32 60 30 16 10 4 D4h
68 側台塔切頂十二面体
(augmented truncated dodecahedron) 		65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 双側台塔切頂十二面体
(parabiaugmented truncated dodecahedron) 		70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 二側台塔切頂十二面体
(metabiaugmented truncated dodecahedron) 		70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 三側台塔切頂十二面体
(triaugmented truncated dodecahedron) 		75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 側台塔回転斜方二十・十二面体
(gyrate rhombicosidodecahedron) 		60 120 62 20 30 12 C5v
73 双側台塔回転斜方二十・十二面体
(parabigyrate rhombicosidodecahedron) 		60 120 62 20 30 12 D5d
74 二側台塔回転斜方二十・十二面体
(metabigyrate rhombicosidodecahedron) 		60 120 62 20 30 12 C2v
75 三側台塔回転斜方二十・十二面体
(trigyrate rhombicosidodecahedron) 		60 120 62 20 30 12 C3v
76 側台塔欠損斜方二十・十二面体
(diminished rhombicosidodecahedron) 		55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体
(paragyrate diminished rhombicosidodecahedron) 		55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体
(metagyrate diminished rhombicosidodecahedron) 		55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体
(bigyrate diminished rhombicosidodecahedron) 		55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 双側台塔欠損斜方二十・十二面体
(parabidiminished rhombicosidodecahedron) 		50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 二側台塔欠損斜方二十・十二面体
(metabidiminished rhombicosidodecahedron) 		50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体
(gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron) 		50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 三側台塔欠損斜方二十・十二面体
(tridiminished rhombicosidodecahedron) 		45 75 32 5 15 9 3 C3v
84 変形双五角錐
(snub disphenoid)
デルタ十二面体 		8 18 12 12 D2d デルタ
多面体
85 変形四角反柱
(snub square antiprism) 		16 40 26 24 2 D4d
86 球形屋根
(sphenocorona) 		10 22 14 12 2 C2v
87 側錐球形屋根
(augmented sphenocorona) 		11 26 17 16 1 Cs
88 長球形屋根
(sphenomegacorona) 		12 28 18 16 2 C2v
89 広底長球形屋根
(hebesphenomegacorona) 		14 33 21 18 3 C2v
90 五角錐球形屋根
(disphenocingulum) 		16 38 24 20 4 D2d
91 双三日月双丸塔
(bilunabirotunda) 		14 26 14 8 2 4 D2h
92 三角広底球形屋根丸塔
(triangular hebesphenorotunda) 		18 36 20 13 3 3 1 C3v

関連文献[編集]

  • 小林光夫, 鈴木卓治, 「正多角形を面にもつすべての凸多面体の頂点座標の計算」, 電気通信大学紀要, Vol.5 (No.2), 147-184 (1992). https://uec.repo.nii.ac.jp/records/8171

外部リンク[編集]

  • 正多面体、準正多面体、ザルガラー多面体、mxico
  • ジョンソン立体の分類
  • 立体２（☆ザルガラー多面体のところ） - 番号に前後あり。
  • Weisstein, Eric W. "Johnson Solid". mathworld.wolfram.com (英語).
一様多面体
正多面体
半正多面体
星型正多面体
その他
カタランの立体
ジョンソンの立体
ゾーン多面体
星型多面体
ねじれ正多面体
面の数による分類
その他
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