シングルトン限界

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シングルトン限界: Singleton bound)とは、符号のパラメータの比較的大雑把な限界値を指す。符号 C のパラメータとは、符号語の長さ n、シンボル数(アルファベットr、最小ハミング距離 d である。

定義[編集]

q進数の符号において、符号語の長さが n であるとき、可能な最大符号語数を A_q(n,d) とする。なお、q進数の符号は、q個の要素の上の符号である。2つの符号語間の最小ハミング距離を d とする。すなわち、その符号内の任意の2つの符号語 ww' について \textrm D_H(w,w')\ge d が成り立つ。

すると

A_q(n,d) \leq q^{n-d+1}

が成り立つ。

証明[編集]

q進数の符号で、符号語の長さが n なら、符号語数 r の最大は qn となる(符号語の各桁は他の桁とは独立に q 種類の値をとりうるため)。

C がq進数の符号であるとする。その全符号語 c \in C はそれぞれ異なる。各符号語の先頭から d-1 桁を除去したとき、全符号語の最小ハミング距離d なので、残った符号語もそれぞれ異なる値でなければならない。したがって、符号語数 r は変化しない。

この新たな符号の長さは

n-(d-1)=n-d+1

となり、可能な最大符号語数は

q^{n-d+1}

となる。したがって、元の符号も符号語数について同じ限界を持つ。

A_q(n,d) \leq q^{n-d+1}

関連項目[編集]