シュール分解

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数学線型代数学の分野におけるシュール分解(シュールぶんかい、: Schur decomposition)あるいはシュール三角形分割(Schur triangulation)とは、イサイ・シュールの名にちなむある種の行列分解英語版である。

内容[編集]

シュール分解とは、次のようなものである: A を成分が複素数であるような n × n 正方行列とする。このとき、A は次のように表現することが出来る[1][2]

 A = Q U Q^{-1}

ここで Q はあるユニタリ行列(したがって、その逆 Q−1Q共役転置 Q* でもある)であり、UAシュール形式(Schur form)と呼ばれる上三角行列である。UA相似であるため、それらは等しい固有値多重集合を持つ。また U は三角行列であるため、そのような固有値は U の対角成分で与えられる。

シュール分解は、A-不変部分空間の入れ子型の列 {0} = V0V1 ⊂ ... ⊂ Vn = Cn が存在することを意味する。また各 i に対し、初めの i 個の基底ベクトルがその入れ子型の列の Vi を張るようなある順序付けられた(Cn の標準的なエルミート形式に対する)正規直交基底が存在する。また違った言い方をすれば、初めの部分はある複素有限次元ベクトル空間上の線型作用素が、完全英語版 (V1,...,Vn) を安定化することを意味する。

証明[編集]

シュール分解の証明は次のようになる。複素有限次元ベクトル空間上のすべての作用素 A は固有値 λ と対応する固有空間 Vλ を持つ。Vλ をその固有空間の直交補空間とする。このとき、その直交分解に関して、A には次のような行列表現が存在することが明らかである(ここで Vλ および Vλ を張るような任意の正規直交基底 Z1 および Z2 をそれぞれ選ぶことが出来る)。

\begin{bmatrix} Z_1 & Z_2 \end{bmatrix}^{*} A \begin{bmatrix}Z_1 & Z_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda \, I_{\lambda} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}: 
\begin{matrix}
V_{\lambda} \\
\oplus \\
V_{\lambda}^{\perp}
\end{matrix}
\rightarrow
\begin{matrix}
V_{\lambda} \\
\oplus \\
V_{\lambda}^{\perp}
\end{matrix}

但し IλVλ 上の恒等作用素である。この行列は、ブロック行列 A22 を除いて上三角である。しかしその A22Vλ 上の作用素と見なすことで、同様の手順を行ってその部分行列を得ることが出来る。以下、空間 Cn に対してこの方法を n 回繰り返せば、求める結果が得られる。

上述の内容はまた、次のように述べることも出来る。λA の固有値とし、対応する固有空間を Vλ とする。A は、Vλ を法とする商空間 Cn 上のある作用素 T を導く。この作用素はまさしく上述のブロック行列 A22 である。上述と同様に、TVλ を法とするある固有空間 WμCn を持つ。その商写像の下での Wμ の原像は、Vλ を含むような A不変部分空間であることに注意されたい。この手順を、結果として得られる商空間の次元が 0 になるまで続ける。すると、各手順で見つけられる固有空間の原像の集まりが、A を安定化する旗を構成する。

注釈[編集]

すべての正方行列にはシュール分解が存在するが、一般にこの分解は一意でないことに注意されたい。例えば、固有空間 Vλ の次元が 1 より大きいこともあり、そのような場合 Vλ に対する任意の正規直交基底に対して求める結果が成立する。

三角行列 UU = D + N と表す。ただし D は対角行列で、N は厳密な上三角行列(したがって冪零行列)である。対角行列 DA の固有値を任意の順番で含むものである(したがってそのフロベニウスノルムの二乗は A の固有値の絶対値の二乗の和となる。しかし A のフロベニウスノルムの二乗は A特異値の二乗の和である)。その冪零の部分 N は一般に一意ではないが、そのフロベニウスノルムA によって一意に定められる(A のフロベニウスノルムは U = D + N のフロベニウスノルムと等しいからである)。

A正規行列であるなら、そのシュール分解により得られる U対角行列でなくてはならず、Q の列ベクトルは A固有ベクトルによって構成される。したがってシュール分解はスペクトル分解を拡張するものである。特に A正定値であるなら、そのシュール分解とスペクトル分解および特異値分解は一致する。

ある可換な行列の族 {Ai} は同時に三角化出来る。すなわち、あるユニタリ行列 Q が存在して、その与えられた族の任意の Ai に対して Q Ai Q* が上三角行列となる。このことはすでに示した上述の証明より従う。{Ai} のある元 A を選び、再び固有空間 VA を考える。このとき VA は {Ai} 内のすべての行列に対して不変である。したがって {Ai} 内のすべての行列は VA 内のある固有ベクトルを必ず共有する。あとは帰納的に主張が従う。その系として、正規行列の全ての可換な族は同時対角化可能というものがある。

無限次元の場合、バナッハ空間上のすべての有界作用素に対して不変部分空間が存在するとは限らない。しかし、任意の正方行列に対する上三角化はコンパクト作用素に対して一般化される。複素バナッハ空間上のすべてのコンパクト作用素は、閉部分空間の英語版を持つ。

応用[編集]

リー理論英語版における応用は、次を含む:

一般化シュール分解[編集]

与えられた正方行列 AB に対し、一般化シュール分解(generalized Schur decomposition)はそれらを A=QSZ^* および B=QTZ^* のように分解するものである。ここで QZユニタリ行列であり、ST上三角行列である。一般化シュール分解はしばしば QZ 分解とも呼ばれる[2]

一般化固有値問題 Ax=\lambda Bxx はゼロでない未知のベクトル)の解である一般化固有値 \lambda は、T の対角成分に対する S の対角成分の割合として計算される。すなわち、行列の対角成分を下付き添え字を使って表せば、第 i 番目の固有値 \lambda_i\lambda_i=S_{ii}/T_{ii} として得られる。

脚注[編集]

  1. ^ Horn, R.A. and Johnson, C.R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. (Section 2.3 and further at p. 79)
  2. ^ a b Golub, G.H. and Van Loan, C.F. (1996). Matrix Computations (3rd ed.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8. (Section 7.7 at p. 313)