シグモイド

シグモイド関数

シグモイド（sigmoid）とは、ギリシア文字シグマ (σ) の語末形（ς）に似た形のこと。S字形ともいう。

特に各種グラフに現れるシグモイド曲線 (sigmoid curve) を指す。このようなグラフは個体群増加や、ある閾値以上で起きる反応（例えば急性毒性試験での死亡率）などに見られる。

共通する特徴

$(-\infty, \infty) \rightarrow (a,b)$ の単調増加連続関数で表される。

$y = a$ と $y = b$ を漸近線に持ち、

$\lim_{x \rightarrow \infty} y = a$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} y = b$

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \dot y = 0$

である。

1つの変曲点を持つ。つまり、変曲点を $(x_\mathrm{s}, y_\mathrm{s})$ とすると、

• $x < x_\mathrm{s}$ では下に凸
• $x = x_\mathrm{s}$（変曲点） では傾き最大
• $x > x_\mathrm{s}$ では上に凸

となる。

式の例

• ロジスティック関数
  • シグモイド関数 - ロジスティック関数の特殊例
  • 双曲線正接関数 (tanh) - ロジスティック関数の線形変換の特殊例
• 正規分布の累積分布関数 (Φ^-1) - プロビットの逆関数
• ゴンペルツ関数
• 逆正接関数 (Tan^-1)

実際の例

生化学ではアロステリックタンパク質（または酵素）の飽和（反応）曲線にシグモイド曲線がよく見られるが、これは正の協同性があることを示す。一般にヒルの式という経験式で表されるが、これも変数を対数に変換すればロジスティック関数の形になる。