シェルピンスキーのギャスケット

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シェルピンスキーのギャスケット
作図例

シェルピンスキーのギャスケット: Sierpinski gasket)はフラクタル図形の1種であり、自己相似的な無数の三角形からなる図形である。ポーランド数学者ヴァツワフ・シェルピンスキにちなんで名づけられた。シェルピンスキーの三角形: Sierpinski triangle)、シェルピンスキーのざる: Sierpinski sieve)とも呼ばれる。

シェルピンスキーのギャスケットはフラクタル図形であるため、正確に作図することは不可能だが、以下の手順を繰り返すことで、近似的な図形を作図することはできる。なお、繰り返し回数を増やすことにより、望む処まで近似のレベルを高めることができる。

  1. 1辺の長さが1の正三角形の各辺の中点を互いに結ぶと、中心部に1辺の長さが1/2の正三角形ができる。
  2. この1辺の長さが1/2の正三角形を切り取る。
  3. これによって、1辺の長さが1/2の正三角形が3個残る。
  4. さらに、これら3つの正三角形の各辺の中点を互いに結んで出来た長さが1/4の正三角形を切り取る。
  5. これによって1辺の長さが1/4の正三角形が9個残る。
  6. 同様に手順をくりかえすと、n回目には長さ(1/2)nの正三角形を切り取り、長さ(1/2)nの正三角形が3n個残る。

上記の手順においてn→∞とした極限がシェルピンスキーのギャスケットである。

シェルピンスキーのギャスケットの一部にズームしていく様子

次元(ハウスドルフ次元)は log(3)/log(2) (≈1.5850…) であり、1次元と2次元の間の値をとる。

この図形は有限の面積の中に無限の長さを包含している。シェルピンスキーのギャスケットを3次元化した場合、表面積は一定で、ハウスドルフ次元は2である。この場合、空洞部に該当する立体は正三角形を8面、有する正八面体である[1]。これはフラクタル図形の特徴の1つであり、現実の例えば人体における血管の分岐構造や腸の内壁がフラクタルであることの理由の1つであろうと考えられている。

ルール90を使ってシェルピンスキーのギャスケットを作図する様子

シェルピンスキーのギャスケットは、以下のような方法でも作ることができる。

  • 2n行のパスカルの三角形で偶数の箇所を白く、奇数の箇所を黒く塗りつぶす。このようにしてできる図形は、nを無限大にすることで、シェルピンスキーのギャスケットとなる。
  • 1次元のセル・オートマトンの内、ルール90と呼ばれるものは、シェルピンスキーのギャスケットを生成する。

同様のフラクタル図形の例として、0次元と1次元の間の値をとる「カントール集合」(0.6309…次元)や、2次元と3次元の間の値をとる「メンガーのスポンジ」(2.7268…次元)などがある。

脚注[編集]

  1. ^ Wolfram Demonstrations Project(英語) 2013年3月19日閲覧。

関連項目[編集]