コーシー-アダマールの定理

コーシー-アダマールの定理（コーシー-アダマールのていり）とは、複素解析学の定理の1つであり、フランスの数学者オーギュスタン・ルイ・コーシーとジャック・アダマールにちなんで命名された。

定理

1複素変数zに関する、以下のような形式的冪級数を考える。

$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}$

ここで$a,c_n\in\mathbb{C}$とする。このとき、fの収束半径は以下のように与えられる。

$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \big( | c_{n} |^\frac{1}{n} \big)$

ただし、上極限(limsup)は次のように定義される。

$\limsup_{n\to\infty} u_n:=\lim_{n\to\infty}\sup\{u_k:k\geq n\}\leq 0$

なお、supは上限を意味する。