コーシーの収束判定法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

コーシーの収束判定法(―のしゅうそくはんていほう、root test) とは、無限級数の収束性を判定する方法である。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの収束判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。

C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

（"lim sup" は上極限を意味する）とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の項が c を中心とする冪級数

\sum_{n=0}^\infty a_n (z-c)^n

の係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

[編集] 証明

証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての n\geq N に対し \sqrt[n]{a_n}<k<1 ならば、an < kn < 1 が成立する。比較判定法より、幾何級数 \sum_{i=N}^\infty k^i が収束すれば、\sum_{i=N}^\infty a_n もまた収束する。

もし、\sqrt[n]{a_n}>1 ならば、\sum_{i=N}^\infty 1 と比較して級数は発散する。an が非正である場合の絶対収束性は、\sqrt[n]{|a_n|} を用いれば同様にして証明できる。

[編集] 関連記事

[編集] 参考文献

  • Knopp, Konrad (1956). “§ 3.2”, Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536. 
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). “§ 2.35”, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press. ISBN 0521588073. 


この記事は、GFDLライセンスに基づくPlanetMathの記事、Proof of Cauchy's root test を資料として取り入れています。

"http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" より作成