コア (ゲーム理論)

コア (core) とはゲーム理論および経済学において解として用いられる概念の呼称である。この概念は用いられる分野によって異なる意味合いを持ち、同じ分野であってもモデルによって少しずつ違った定義の仕方がなされる。

以下ではn人提携ゲーム、2人からなる交換経済のモデル、そして投票理論におけるコアの概念を解説する。

定義

コアは他の配分に支配されないような配分の集合である。

n人提携ゲームにおいてある実現可能な利得配分がコアであるとは、プレイヤーがどのような提携 (プレーヤーの集合) を形成してもプレイヤーが得る利得の総和が上昇させられない（提携合理性を満たす）ような利得配分の集合を指す。 なお、コアに属する配分はパレート最適である。

配分の支配

譲渡可能効用を持つ協力ゲーム(N,v)を考える。ここで、N はプレイヤーの集合を、 v は 特性関数をそれぞれ表す。 xとyをそれぞれvの配分とする。 $x_i > y _i, \forall~ i \in S$ と $\sum_{ i \in S } x_i \leq v(S)$を満たすような 提携 $S \neq \subseteq N$(ただし、$S\neq \emptyset$)が存在すれば、 Sを形成するそれぞれのプレイヤーはxを好むであろう。 このような提携Sが存在する2つの配分について、x は y を支配する、y は x によって支配される、と言う。

2人交換経済

2人の経済主体からなる交換経済においては、パレート最適かつ交換前の状態よりも2人それぞれにとって望ましい（個人合理性を満たす）ような資源配分の集合をコアという。

コアの配分は契約曲線の上にあり、かつ両者の初期保有量を通る無差別曲線で挟まれた部分となる。この2人と同じ選好と初期保有量を持つ経済主体を経済に追加してゆくと、契約曲線上のコア配分は、徐々に縮小してゆく。経済主体の数が無限大となる極限では、コア配分は競争均衡における資源配分と一致する。これを、コアの極限定理という。

このコアの概念や極限定理の源泉は、フランシス・エッジワースまで遡ることができるが、厳密な証明はジェラール・ドブルーとハーバート・スカーフによって与えられた。

コアの概念自体はゲーム理論で用いられ、市場取引を前提とする経済の描写とは異なる。しかし、市場の参加者が無限大である完全競争市場での均衡は、コア配分となっているため、どのような結託を考えてももはや誰も良化できない状態と言う意味で、頑健性や安定性を持つことになる。

投票理論におけるコア

選択肢が配分 (消費バンドルのリスト) であるときは、どのような非空の提携も配分をブロック (拒否) できると仮定するのは自然である。 しかし選択肢が (公共財の供給レベルなど) 社会的に決定すべきものであるときは、十分に人数の多い提携のみが与えられた選択肢をブロックできると仮定するのが適切である。そのような多人数の (「勝利」) 提携の集まりを「シンプルゲーム」( 単純ゲーム，投票ゲーム) と呼ぶ。「選好プロファイルにおけるシンプルゲームのコア」は、勝利提携のみが選択肢 x を拒否してy を実現することができるという考えにもとづく概念である。このコアがすべての選好プロファイルにたいして非空となる必要十分条件は、そのシンプルゲームの中村ナンバーによって与えられている。

参考文献

• ウィリアム・トムソン著　清野一治訳『経済論文の書き方 作成・プレゼン・評価』東洋経済新報社、2006年。
• 奥野正寛『ミクロ経済学』東京大学出版会、2008年。
• 岡田章『ゲーム理論・入門　人間社会の理解のために』有斐閣、2008年。

翻訳元

本記事の一部はウィキペディア英語版記事

• Core(game_theory). Wikipedia: Free Encyclopedia. [1][17 May 2011]

からの抄訳に基づいて作成された。