グーデルマン関数

グーデルマン関数とその漸近線y = ±π/2を青色で示した図

グーデルマン関数（グーデルマンかんすう、英語: Gudermannian function、ドイツ語: Gudermannfunktion）は、クリストフ・グーデルマン、1798–1852）にちなんで命名された、複素数を用いない三角関数及び双曲線関数と関係する関数。

定義は以下のとおりである。

$\begin{align}{\rm{gd}}\,x&=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \\[8pt] &=\arcsin\left(\tanh x \right) =\mathrm{arctan}\left(\sinh x \right) \\[8pt] &=2\arctan\left[\tanh\left(\tfrac12x\right)\right] =2\arctan(e^x)-\tfrac12\pi. \end{align}\,\!$

グーデルマン関数と関連する公式の中には、定義として全く運用できないものがある。例えば、実数x について、 $\arccos\mathrm{sech}\,x = \vert\mathrm{gd}\,x\vert = \arcsec(\cosh x)$　である。（逆三角関数を参照。）

以下の恒等式が成り立つ。

$\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black} \sin\mathrm{gd}\,x}}}&=\tanh x ;\quad \csc\mathrm{gd}\,x=\coth x ;\\ \cos\mathrm{gd}\,x&=\mathrm{sech}\, x ;\quad\, \sec\mathrm{gd}\,x=\cosh x ;\\ \tan\mathrm{gd}\,x&=\sinh x ;\quad\, \cot\mathrm{gd}\,x=\mathrm{csch}\, x ;\\ {}_{\color{white}.}\tan\tfrac{1}{2}\mathrm{gd}\,x&=\tanh\tfrac{1}{2}x. \end{align}\,\!$

グーデルマン関数の逆関数

グーデルマン関数の逆関数は、区間 −π/2 < x < π/2において、次のように与えられる。

$\begin{align} \operatorname{gd}^{-1}\,x & = \int_0^x\frac{dt}{\cos t} \\[8pt] & = \ln\left| \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right| = \tfrac12\ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| \\[8pt] & = \ln\left| \tan x +\sec x \right| = \ln \left| \tan\left(\tfrac14\pi + \tfrac12x\right) \right| \\[8pt] & = \mathrm{artanh}\,(\sin x) = \mathrm{arsinh}\,(\tan x). \end{align}$

（逆双曲線関数を参照。）

グーデルマン関数とその逆関数の微分は次のとおりである。

$\frac{d}{dx}\;\mathrm{gd}\,x=\mathrm{sech}\, x; \quad \frac{d}{dx}\;\operatorname{gd}^{-1}\,x=\sec x.$

数式$\tfrac{1}{2}\pi - \mathrm{gd}\,x$は、双曲幾何学において、平行角関数を定義する。

歴史

この関数は、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトによって1760年代に双曲線関数と同じ頃に紹介された。彼はそれを「超越角」（transcendent angle）と呼び、アーサー・ケイリーが1862年に、1830年代のグーデルマンによる特殊関数の理論の功績にちなんで「グーデルマン関数」と呼ぶことを提案するまで、様々な名称で呼ばれてきた。グーデルマンは、幅広い読者に向けてsinhとcosh（同書では$\mathfrak{Sin}$と$\mathfrak{Cos}$の表記を用いた）を説いた1833年の著書"Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen functionen"に、クレレ誌で発表した論文を収録した。

グーデルマン関数を表す記号gd は、Philosophical MagazineXXIV巻の19ページにおいて、ケイリーが正割関数の積分法（integral of the secant function）の逆について、gd. uを用いたのが始まりである。ここで、

$u = \int_0^\phi \sec t \,dt = \ln\tan\left(\tfrac14\pi+\tfrac12\phi\right)$

であり、超越の定義を次のように示した。

$\operatorname{gd} \,u = i^{-1}\ln\tan\left(\tfrac14\pi+\tfrac12ui\right)$

よって、それはu の実関数であることが即座に見いだされる。

適用

地球を真球と見立てたとき、メルカトル図法による投影面上における、赤道からの緯線距離についてのグーデルマン関数の関数値は、子午線弧長、すなわち実際の地球上の緯度に相当する。

グーデルマン関数は、倒立振子（とうりつしんし、Inverted pendulum）の非周期解に現れる。

参考文献

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp. 323–325.
• Weisstein, Eric W., "Gudermannian" - MathWorld.（英語）
• 坂元左馬太 (1934): グーデルマンの角と實双曲線函數及び指數函數の計算に就て, 土木学会誌, 20(9), 1081–1086

関連項目

• 双曲線正割分布
• メルカトル図法
• トラクトリックス
• 三角関数の公式の一覧
• 等長緯度