グラム行列

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線形代数学において正方行列 A が与えられたとき, A^* AAグラム行列(ぐらむぎょうれつ, : Gram matrix)という.

A=(\boldsymbol{a}_1 \dots \boldsymbol{a}_n) であるとき, A のグラム行列の (i,j) 成分は \boldsymbol{C}^n における標準内積を用いて \langle\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j\rangle と表せる.このことから, 内積空間の n 個のベクトル \boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_n が与えられたときに \langle\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j\rangle(i,j) 成分にもつ行列のこともグラム行列という.

性質[編集]

グラム行列は半正値エルミート行列であり, A のグラム行列 G について下記の 3 条件は同値である。

  • A は正則行列
  • G は正則行列
  • G は正値エルミート行列

関連項目[編集]