グラム行列

線形代数学において正方行列 $A$ が与えられたとき, $A^* A$ を $A$ のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, 英: Gram matrix)という.

$A=(\boldsymbol{a}_1 \dots \boldsymbol{a}_n)$ であるとき, $A$ のグラム行列の $(i,j)$ 成分は $\boldsymbol{C}^n$ における標準内積を用いて $\langle\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j\rangle$ と表せる.このことから, 内積空間の $n$ 個のベクトル $\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_n$ が与えらえたときに $\langle\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j\rangle$ を $(i,j)$ 成分にもつ行列のこともグラム行列という.

性質

グラム行列は半正値エルミート行列であり, $A$ のグラム行列 $G$ について下記の 3 条件は同値である。

• $A$ は正則行列
• $G$ は正則行列
• $G$ は正値エルミート行列

関連項目

• 線形代数学
• 内積