グラフ同型

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グラフ同型(ぐらふどうけい)とはグラフ理論における概念の一つである。

概要[編集]

頂点集合が等しいグラフG, G'について、各々の枝集合をE, E'とする。Gの任意の枝e=(v, w)について、(f(v), f(w))がE'に属するような全単射写像 f が存在するとき、GとG'はグラフ同型(あるいは単に同型)であるといい、G'はGの同型グラフであるという。

例として以下のようなグラフが与えられたとする。

グラフ G グラフ G' G と G' の対応
Graph isomorphism a.svg Graph isomorphism b.svg  a \leftrightarrow 1

 b \leftrightarrow 6

 c \leftrightarrow 8

 d \leftrightarrow 3

 g \leftrightarrow 5

 h \leftrightarrow 2

 i \leftrightarrow 4

 j \leftrightarrow 7

このとき、グラフ G の各ノードに繋がっているノードは全てグラフ G' の対応する各ノードに繋がっていることがわかる。 このように GとG'が同一の頂点を持ち、同一の辺のつながりかたをしているときにそのグラフを「同型」というのである。

グラフ同型性判定問題[編集]

与えられた二つのグラフが同型か否かを判定する問題である。この問題がNPに属することは分かっているが、P, co-NP, BPPに属するかどうかは分かっていない。NP完全に属するかどうかも分かっていないので、量子計算機を用いて多項式時間で解けるかどうかに関しても、さかんに研究されている。