クンマー理論

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抽象代数学数論で、クンマー理論(Kummer theory)は、あるタイプの体の拡大を記述する理論である。この体の拡大は基礎体の元の n-番目の根の共役英語版(adjunction)を持っている場合である。クンマー理論は、元々は、1840年代にフェルマーの最終定理エルンスト・クンマー(Ernst Kummer)が開拓しようとして発見した理論である。

クンマー理論の主な結果は、体の性質に依存していなく、つまり 体の標数は n を割らない限り結果には関係はなく、従って、抽象代数学に属する。体 k の巡回拡大の理論は K の標数が n を割るときは、アルティン・シュライヤーの理論英語版(Artin–Schreier theory)と呼ばれる。

クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分に多くの単元の根が存在するときは、円分拡大から根を引き抜くことと理解される。クンマー理論の類体論での主要な位置付けは、単元の余剰な根を分け与えることで(より小さな体に分けること)、非常に重要となることがある。

クンマー拡大[編集]

クンマー拡大(Kummer extension)とは、ある与えられた整数 n に対し次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。

例えば、n = 2 のとき、第一の条件は、K の標数が ≠ 2 のときはいつも満たされる。この場合のクンマー拡大は、a を K の中の平方数でないときの二次拡大(quadratic extensions) L = K(\sqrt{a}) である。二次方程式の通常のの解により、K の任意の次数 2 の拡大はこの形を持つ。この場合のクンマー拡大は、双二次拡大(biquadratic extensions)や、さらに一般的な多二次拡大(multiquadratic extensions)である。K が標数 2 の場合は、そのようなクンマー拡大は存在しない。

n = 3 とすると、3つの 1 の立方根に対して複素数が必要となるので、有理数Q の次数 3のクンマー拡大は存在しない。a を立方数でないとし、L を Q 上の分解体 X3 − a とすると、L は 1 の 3つの立方根をもつ部分体 K を含んでいる。α と β が 3次多項式の根であれば、(α/β)3 =1 であり 3次方程式は分離多項式(separable polynomial)である。従って、L/K はクンマー拡大である。

より一般的に、K が n 個の異なる 単元の n 乗根を含む(このことは K の標数が n を割らないことを意味する)とき、K と結合すると、K の任意の元 a の n 乗根は(n を割るようなある m が存在し、次数 m の)クンマー拡大を生成する。多項式 Xn − a の分解体として、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回的となる。\sqrt[n]{a} を通してガロア作用を追いかけることは容易である。

クンマー理論[編集]

クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる単元の n 乗根を持っているとすると、n を割るべきの K の全てのアーベル拡大は、K の元の根を引き抜くことにより作ることができる。さらに、K× で K のゼロではない元の乗法群を表すとすると、n べきの K のアーベル拡大は、

K^{\times}/(K^{\times})^n,\,\!

の部分群に全単射でたいおうする。すなわち、n 乗べきをmoduloとした K× の元である。対応関係は次のように明確に記述することができる。部分群

\Delta \subseteq  K^{\times}/(K^{\times})^n, \,\!

が与えられると、対応する体の拡大は

K(\Delta^{1/n}),\,\!

で与えられる。すなわち、K へ Δ の元の n 乗根を結合させることで与えられる。逆に、L を K のクンマー拡大とすると、Δ は

\Delta = K^\times \cap (L^\times)^n.\,\!

という規則を導く。

クンマー拡大の場合には、同型

\Delta \cong \operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n)

が、

a \mapsto \biggl(\sigma \mapsto \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\biggr),

により与えられる。ここに、α は L の元 a の n 乗根である。

一般化[編集]

G を G-加群 A からそれ自身への全射準同型 π を持つ加群 A 上に作用する射有限群とする。また G は π の核(kernel) C 上に自明な作用をしていて、1次コホモロジー群 H1(G,A) は自明とすると、群コホモロジーの完全系列は、AG/π(AG) と Hom(G,C) との間に同型が存在することを意味する。

クンマー理論は、A が体 k の分離閉包の乗法的群であり、G がガロア群であり、π が n 乗写像で、C が単元の n 乗根の群である場合である、これの特別な場合である。アルティン・シュライヤー理論英語版(Artin–Schreier theory)は、正の標数 p の体 k の分離閉包の加法群で、G をガロア群、π をフロベニウス写像、C を位数 p の有限体とした特別な場合である。A を省略されたウィットベクトル英語版(truncated Witt vector)の環とすると、pn を割る冪の拡大へのアルティン・シュライヤーの理論のウィットによる一般化を得る。

参照項目[編集]

参考文献[編集]