クライン=仁科の公式

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クライン=仁科公式量子電磁力学で最小単位の単電子からくる光子の散乱の反応断面積に関する公式。

クライン仁科公式は1929年にオスカル・クライン仁科芳雄が導いた公式であり、これは量子電磁力学の最初の研究であった。相対論的質量と量子力学効果の考慮によって目標電子からの放射の散乱の正確な運動方程式が求められた。この方程式の前に電子断面図はイギリスの物理学者で電子発見者であるJ・J・トムソンが古典的に推論していた。しかし散乱実験はトムソン断面図で予測された結果から重大な偏差を表していた。更に散乱実験ではクライン仁科公式の予測に完全に一致していた。可視光線のような低周波数はトムソン散乱で言及されており、X線ガンマ線のような高周波数のものはコンプトン効果に言及されている。

投射光子のエネルギーをE_\gammaとすると、断面積の特徴は


\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{2} \alpha^2 r_c^2 P(E_\gamma,\theta)^2 (P(E_\gamma,\theta) + P(E_\gamma,\theta)^{-1} -1 +  \cos^2(\theta))

ここでαは微細構造係数であり、θは散乱角度である。 r_c=\hbar/m_e cは電子の半径である。 m_eは電子の質量である。 P(E_\gamma,\theta)は衝突の前後の光子の割合である。


P(E_\gamma,\theta) = \frac{1}{1 + \frac{E_\gamma}{m_e c^2}(1-\cos\theta)}

この結果は古典的な電子半径r_e=\alpha r_cで言い表すことも出来る。しかし古典的数量は特に量子電磁力学には意味がない。

もしE_\gamma \ll m_ec^2,P(E_\gamma,\theta)\rightarrow 1とクライン仁科公式を古典的なトムソン表現に換算すると最終的な光子の散乱エネルギーE_\gamma'は散乱角度と独自の光子エネルギーに依存し、このためクライン仁科公式を使用せずに次のように計算できる。


E_\gamma'(E_\gamma,\theta) = E_\gamma \cdot P(E_\gamma, \theta)