クヌースの矢印表記

クヌースの矢印表記またはタワー表記とは、1976年にドナルド・クヌースが巨大数を表現するために発明した表記法である。これは、乗算が加算の反復であり、冪乗が乗算の反復であるのと同様の考え方に基づくもので、冪乗の反復（テトレーション、超指数）を表す演算の表記法である。

導入

加算→乗算→冪乗

乗算は、加算の反復によって定義できる。

$a\times b=\underbrace{a+a+\dots+a}_{b\mathrm{ \ copies \ of \ }a }$

冪乗は、乗算の反復によって定義できる。

$a ^ b=\underbrace{a\times a\times\dots\times a} _ {b\mathrm{ \ copies \ of \ }a }$

なお、一部の初期のコンピュータでは、上向き矢印を冪乗演算子に使ったので、それを使うと

$a \uparrow b=\underbrace{a\times a\times\dots\times a} _ {b\mathrm{ \ copies \ of \ }a }$ 。

例として、グーゴルプレックス ( $10^{10^{100}}$ ) は　10↑10↑100　である。

テトレーション

ここでクヌースは、二重矢印をテトレーション（指数計算の反復）を表す演算子として定義した。

$a\uparrow\uparrow b= \underbrace{a \uparrow a \uparrow \dots \uparrow a}_ {b\mathrm{ \ copies \ of \ }a } = \underbrace{a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}_ {b\mathrm{ \ copies \ of \ }a }$

この定義によると、

$3\uparrow\uparrow2=3^3=27\,\!$

$3\uparrow\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987\,\!$

$3\uparrow\uparrow4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}\,\!$

$3\uparrow\uparrow5=3^{3^{3^{3^3}}}=3^{3^{7625597484987}}\,\!$

etc.

これにより、非常な巨大数を導くことができる。

他にも

$10\uparrow\uparrow3 = 10^{10^{10}} = 10^{10000000000}$ (10の100億乗)

$10\uparrow\uparrow4 = 10^{10^{10^{10}}} = 10^{10^{10000000000}}$

などもある。

それ以上

だがクヌースはこれに飽き足らず、「2重矢印」による演算を反復する演算子として、「3重矢印」を定義した。

$a\uparrow\uparrow\uparrow b= \underbrace{a \uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow \dots \uparrow\uparrow a}_ {b\mathrm{ \ copies \ of \ }a }$

同様に、「4重矢印」演算子も定義できる。

$a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= \underbrace{a \uparrow\uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow\uparrow \dots \uparrow\uparrow\uparrow a}_ {b\mathrm{ \ copies \ of \ }a }$

これを一般的に述べると、n 重の矢印演算子は、(n − 1) 重の矢印演算子の反復として表すことができる。

$a \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow}_n b = \underbrace{a \underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{n-1} a \underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{n-1} a \dots a \underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{n-1} a}_ {b\mathrm{ \ copies \ of \ }a }$

なお、矢印を使った指数の記法 $a \uparrow b = a ^ b$ も、クヌースの矢印記号の特殊例（一重矢印）として再解釈される。

優先規則

全てのクヌースの矢印（通常の指数計算である a↑b も含む）は、右から計算される。例えば、a↑b↑c = a↑(b↑c) であり、(a↑b)↑c ではない。

具体例を挙げると、 $3\uparrow\uparrow 3= 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3^{3^3}$ は $3 \uparrow ( 3 \uparrow 3) = 3^{\left(3^3\right)}=3^{27}=7625597484987$ であり、$(3 \uparrow 3) \uparrow 3 = \left(3^3\right)^3=27^3=19683$ ではない。

拡張記法

n重矢印演算子

n 重の矢印演算子を単に $\uparrow^n$ と書く。たとえば、

$a\uparrow\uparrow b=a\uparrow^2 b$ 、

$a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b=a\uparrow^{10} b$ 。

functional power

$(a \uparrow^n)^m b$ は、関数

$f(x) = a \uparrow^n x$

の m-th functional power

$f^m(x) = ( \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_m ) (x) = \underbrace{ f(f( \cdots (f }_m(x)) \cdots ))$

である。つまり

$(a\uparrow^n)^m b= \underbrace{a \uparrow^n a \uparrow^n \dots \uparrow^n a}_m \uparrow^n b$。

たとえば、

$(a \uparrow) ^ 3 b = a \uparrow a \uparrow a \uparrow b = a^{a^{a^b}}$ 。

定義

クヌースの矢印表記は、次のように定義される。

$a\uparrow^n b= \begin{cases} 1, &\mbox{if }b=0\\ a^b, &\mbox{if }n=1\\ a\uparrow^{n-1}(a\uparrow^n(b-1)), &\mbox{otherwise} \end{cases}$

ここで、a, b, n は整数である。ただし、b ≥ 0, n ≥ 1 である。なおa⁰ ≡ 1なので、最初の2式の優先順位はどちらでもよい。

functional powerを使って、次のようにも定義できる。

$a\uparrow^n b= \begin{cases} 1, &\mbox{if }b=0\\ a^b, &\mbox{if }n=1\\ (a\uparrow^{n-1})^b 1, &\mbox{otherwise} \end{cases}$

他の記法との関係

すでに述べたとおり、1重のクヌースの矢印は冪乗を表す。また、2重のクヌースの矢印は左上付き数字と同じテトレーションを表す。

$a^b = a\uparrow b$

${}^b a = a\uparrow\uparrow b$

アッカーマン関数は、$\uparrow^n$ を使ったクヌースの記法でほぼ表せる。

$\operatorname {Ack} (n, b) = 2 \uparrow^{n-2} (b+3) - 3 \quad \mbox{if }n\ge 3$

ハイパー演算子は、積・和・後者関数も表せる以外は、$\uparrow^n$ を使ったクヌースの記法と等価である。

$\operatorname {hyper} (a, n, b) = a \uparrow^{n-2} b \quad \mbox{if }n\ge 3$

コンウェイのチェーン表記は、3連では $\uparrow^n$ を使ったクヌースの矢印表記と等価だが、さらに長く続けることで、クヌースの矢印表記では表せない大きな数、たとえばグラハム数の範囲などを表すことができる。

$a \to b \to n = a \uparrow^n b$

フォントの都合による代替表記

コンピュータ上でのテキストとして表記する場合、フォントによっては↑のような記号が無い場合もあるため、a^^bのようにサーカムフレックスを並べる表記を行う場合がある。クヌース自身も、これを代替的あるいは簡便な記法として認めている。

指数表記 a^b のかわりに a^b と書くのも、これと同じである。