ガロア圏
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ガロア圏(Galois category)とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。この理論はしばしばグロタンディークのガロア理論と呼ばれる。
[編集] 定義
Cを圏、FをCから有限集合の圏(Sets)への共変関手とし、次の公理を満たしているときCをガロア圏とよぶ。
- Cは終対象を持ち、C内である対象上の2つの対象のファイバー積が存在する。
- Cは有限和が存在する。とりわけ始対象を持つ。
- 任意の射u:X→Yはs:X→Zおよびt:Z→Yと一意に分解でき、sは全射、tは単射とできる。
- Fは左完全である。
- Fは有限和と可換である。Fは全射を全射に移す。および群による商と可換F(X/G)=F(X)/G。
- C内の射u:X→Yに対しF(u)が同型ならばuも同型である。
このときガロア圏の上で有限群の射影極限である位相群πが構成され、圏Cとπが連続に作用する有限集合の圏C(π)との同値が証明される。
[編集] その他の話題
知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論であるピカール・ヴェシオ理論はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる淡中圏の理論が構成されている。
[編集] 参考文献
Alexandre Grothendieck, SGA1
