カー解

一般相対性理論

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}$

アインシュタイン方程式

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カー解（カーかい、Kerr solution）、カー計量（Kerr metric）あるいはカー・ブラックホール解とは、一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式の厳密解の一つで、真空中を定常的に回転する軸対称なブラックホールを表現している。ニュージーランドの数学者ロイ・カー（Roy Kerr）によって1963年に発見された。 カー計量によって表現される時空には、時間並進と回転に関する2つの等長変換群（アイソメトリ―）が作用する。 ペトロフ（A. Z. Petrov）による分類によれば、カー計量はDタイプに属する。

すぐ後に、さらに電荷を帯びた カー・ニューマン解（Kerr‐Newman）も発見され、角運動量・質量・電荷の3つのパラメータを持つブラックホール解として、その後、一般相対性理論の描く時空の姿の理解に広く使われている。

カー・ブラックホールでは、事象の地平面の外側には、回転の影響により、観測者が一点に留まれないエルゴ領域 (ergo region) と呼ばれる領域が形成される。はるか遠方の観測者から見ると、このエルゴ球のちょうど表面で回転と逆方向に放射した光子は放射した一点に留まっているように見え、球面の内側で回転の逆方向に放射した光子は回転の順方向に引きずられているように見える。（ただしエルゴ領域は事象の地平面の近傍に形成されるため時空が極度に縮んでおり、回転の順方向に放射した光子の速度も平坦な時空の光速度より遅れて見え、見かけの超光速が達成されているわけではない。）また、中心部の特異点は、リング状になっていると理解されている。

ブラックホール脱毛定理 (no‐hair theorem) において、すべての現実的なブラックホールは、いずれ、角運動量・質量・電荷の3つの物理量のみを持つカー・ニューマンブラックホールに落ち着くと考えられている。また、「アインシュタイン・マクスウェル方程式での軸対称定常解は、カー・ニューマン解に限られる」というブラックホール唯一性定理 (uniqueness theorem)も存在する。

ホーキング は、重力の孤立系としてのブラックホールを、熱力学と類推することにより、ブラックホール熱力学 を構築した。 そこでは、ブラックホールの面積はエントロピーと対応し、常に増大する量となる（ブラックホール面積定理 ）。

カー計量の表現

ボイヤー・リンキスト（Boyer-Lindquist）座標による表現

カー自身が彼の論文の中で使った座標ではないが、カー計量はボイヤー（R. H. Boyer）とリンキスト（R. W. Lindquist）によって導入された座標（ボイヤー・リンキスト座標）を用いて次のような形に書かれるのが一般的である。

$\begin{align} ds^2 = & -\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma}\right)dt^2 -\frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}dtd\phi \\ &+\frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma d\theta^2 + \left(r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta} {\Sigma}\right) \sin^2\theta d\phi^2 \end{align}$

ここで、

$\Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta\,, \quad \Delta=r^2-2Mr+a^2\,$

である。パラメータ $M\,$ や $a\,$ は、 光速と万有引力定数を1とする幾何学単位系（$c=G=1\,$）を用いて、 ブラックホールの質量 $M\,$ や角運動量 $J=Ma\,$ と関係している。 回転がない場合（$a=0\,$）、カー解は静的かつ球対称な解（シュバルツシルド解）を再現する。 $a = M\,$ で最大回転となり、 それ以上速く回転するとホライズンが消えてしまいブラックホールではなくなってしまう。

ブラックホールとしての事象の地平面（event horizon）の位置は、 上式の $dr^2\,$ の係数が発散する $\Delta = 0\quad$ を与える面である。 $dt^2\,$ の係数が発散する $1-2Mr/\Sigma=0\,$ の面は、エルゴ球面を与える。

正規直行基底の見易い表式

以下では、カー計量のボイヤー・リンキスト座標による表現で、よく用いられる3つの表式を与える。

• $dt$ について平方完成された表式

$\begin{align} ds^2 = -\frac{G}{\Sigma} \left( dt + \frac{A}{G}a\sin^2\theta d\phi\right)^2 +\Sigma\left(\frac{dr^2}{\Delta} + d\theta^2 + \frac{\Delta}{G} d\phi^2\right) \end{align}$

ここで、$\Sigma$ や $\Delta$ は上で定義されているものと同じ、 $A$ および $G$ は

$A = 2m r \,, \quad G = \Delta - a^2\sin^2\theta \,$

で定義された関数である。 この表式において、$\Delta(r)$、$A(r)$ および $\Sigma(r,\theta)$ を未知関数としたものを アインシュタイン方程式の厳密解の仮定として利用することがある。

また、カー・ブラックホール時空に隠れている $SL(2,R)\times SL(2,R)$ 対称性を顕わに見える形で取り出してくる場合にも、この表式が利用される。 これは、カー・ブラックホール時空の「差し引かれた幾何（Subtracted Geometry）」と言われる。 $\Delta(r)$、$A(r)$ および $\Sigma(r,\theta)$ を

$\Delta = (r-r_+)(r-r_-)\,, \quad A = c_1r+c_2 \,, \quad \Sigma = \{c_1^2(r_++r_-)+2c_1c_2\}r+c_2^2-c_1^2(r_+r_--a^2\sin^2\theta) \,$

で置き換えると、計量は $AdS_3 \times (1/4) S^2$ 時空上の標準計量のあるキリングベクトル方向へのカルツァ・クライン還元になっていることが分かる。 ここで、$r_+$、$r_-$、$c_1$ および $c_2$ は定数である。

• $d\phi$ について平方完成された表式

$\begin{align} ds^2 = \Sigma\left(-\frac{\Delta}{P}dt^2 +\frac{dr^2}{\Delta} + d\theta^2 \right)+ \frac{P \sin^2\theta}{\Sigma}\left(d\phi-\frac{2aMr}{P}dt\right)^2 \end{align}$

ここで、$\Sigma$ や $\Delta$ は上で定義されているものと同じ、 $P$ は

$P = (r^2+a^2)\Sigma + 2a^2Mr\sin^2\theta \,$

で定義された関数である。この表式は、近地平面極限（Near Horizon Limit）を取るときに利用される。

• その他の表式

$\begin{align} ds^2 = -\frac{\Delta}{\Sigma}\left(dt -a\sin^2\theta d\phi\right)^2 +\frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma d\theta^2 + \frac{\sin^2\theta}{\Sigma}\left( a dt -(r^2+a^2) d\phi \right)^2 \end{align}$

ここで、$\Sigma$ や $\Delta$ は上で定義されているものと同じである。

カー時空の隠れた対称性

カー時空中における、自由落下する粒子の運動（測地線運動）を記述するハミルトン-ヤコビ方程式は変数分離によって解くことができる。このことは、1968年、ブランドン・カーター（Brandon Carter）によって初めて証明された。実際には、カー時空を含むより一般的なクラスの時空に対して、ハミルトン-ヤコビ方程式とスカラー場の方程式（シュレーディンガー方程式）の両方が変数分離によって解かれることが示されている。カー時空には本来、時間並進対称性と回転対称性に関連する二つのキリングベクトルが存在し、それらに対応した2つの独立な保存量が内在している。そのため、ハミルトン-ヤコビ方程式が可積分であるためには、ハミルトニアンとは別に、4つめの独立な保存量が必要であった。カーターの仕事はこの四つ目の保存量の存在を示唆しており、「カーター定数」とよばれている。

それから2年後、カーターとは違った形で、カー時空におけるハミルトン-ヤコビ方程式の可積分性が証明された。 マーティン・ウォーカー（Martin Walker）とロジャー・ペンローズ（Roger Penrose）は、カー時空に2階の分離不可能なキリングテンソルが存在することを示し、カーター定数が粒子の運動量に関して2次の保存量になっていることを明らかにした。ここで、2階のキリングテンソルとは

$\nabla_{(a}K_{bc)}=0\,$

を満たす2階の対称テンソルをいう。一般に、キリングベクトル $\xi\,$ の存在する空間では $K_{ab}=c_1\xi_{(a}\xi_{b)}+c_2g_{ab}\,$ （$c_1, c_2\,$ は定数）によって2階のキリングテンソルをいつでも構成することができるが、 このようにキリングベクトルや計量から構成できるキリングテンソルは分離可能（reducible）なキリングテンソルとよばれ、 分離不可能（irreducible）なものとは区別される。 すべてのキリングテンソルがキリングベクトルから構成できるとは限らず、 カー時空において分離不可能なキリングテンソルを見つけたことがウォーカーとペンローズの功績である。

1973年、フロイト（R. Floyd）はカー時空に存在する2階のキリングテンソルが、2階のキリング・矢野テンソルを用いて

$K_{ab}=f_{ac}f_b{}^c\,$

のように書けることを指摘した。 ここで、2階のキリング・矢野テンソルとは

$\nabla_{(a}f_{b)c}=0\,$

を満たす2階の反対称テンソルをいう。 フロイトの仕事は、言いかえれば、カー時空における2階のキリング・矢野テンソルの存在を示しているわけであるが、すべての2階のキリングテンソルが2階のキリング・矢野テンソルに分解できるわけではないため、その意味でカー時空が"特別"であることを意味している。 さらに同じ年、カー時空が本来持っている2つのアイソメトリー、$\xi\,$ と $\eta\,$ が2階のキリング・矢野テンソルを用いて

$\xi^a=\frac{1}{3}\nabla_b(*f)^{ba}\,$

$\eta^a=K^a{}_b\xi^b\,$

のように書けることをハッシュトン（L. P. Hughston）とゾンマー（P. Sommers）は見出した。 これにより、カー時空では、ハミルトン-ヤコビ方程式が可積分であるためのすべての保存量が2階のキリング・矢野テンソルという1つの反対称テンソル場から生成されることが分かる。

参考文献

• R. P. Kerr, "Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics", Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).
• Boyer, R. H. and Lindquist, R. W. "Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric." J. Math. Phys. 8, 265-281, 1967.

関連項目

• 一般相対性理論 | アインシュタイン方程式
• ブラックホール | シュヴァルツシルトの解 | シュヴァルツシルト・ブラックホール
• カー・ブラックホール | カー・ニューマン解
• ブラックホール脱毛定理 | ブラックホール唯一性定理
• 宇宙検閲官仮説
• ブラックホール熱力学 | ブラックホール面積定理