カラビ-ヤウ多様体

5次カラビ-ヤウ3次元多様体の断面(3次元射影)

カラビ-ヤウ多様体は、代数幾何のような数学の分野で注目を浴びた特別なタイプの多様体で、数理物理でも注目を浴びている。 特に、超弦理論では、時空の余剰次元が、6次元（実次元）のカラビ-ヤウ多様体の形をしていると予想されている。この余剰次元の考え方が、ミラー対称性の考えを導くことになった。

カラビ-ヤウ多様体は、1次元の楕円曲線や2次元のK3曲面の高次元のバージョンの複素多様体で、コンパクトなケーラー多様体で標準バンドルが自明な多様体として定義される。しかし、他にも同値ではない多くの同様な定義がある。それらはCandelas et al. (1985)では、"カラビ-ヤウ空間"も呼ばれた。最初は微分幾何学の立場から、エウゲニオ・カラビE. Calabi (1954, 1957)で研究され、シン＝トゥン・ヤウが、これらがリッチ平坦な計量を持つであろうというカラビ予想を証明したことから、カラビ-ヤウ多様体と命名されている。

定義

カラビ-ヤウ多様体の定義は、記述する人により同値ではない定義がある。このセクションではこれらに共通の定義と、それらの関係について述べる。

n-次元のカラビ-ヤウ多様体は、次の等価な条件のうちの一つを満たすコンパクトな n-次元ケーラー多様体 M のことを言う：

• M の標準バンドルが自明。
• M がどこでもゼロにならない正則な n-形式を持つ。
• M の構造群が U(n)から SU(n)へ退化する。
• M がSU(n)に含まれる大域的なホロノミーを持つをケーラー計量を持つ。

これらの条件は、M の整数係数の第一チャーン類 c₁(M) がゼロになることであるが、この逆は成立しない。最も簡単な例は複素次元が2次元の複素トーラスを有限の数で割った超楕円曲面であり、整数係数の第一チャーン類はゼロであるが、標準バンドルは自明ではない。

コンパクトな n-次元ケーラー多様体 M に対して、次の条件は互いに同値になるが、上記の条件よりは弱い条件となる。しかし、この条件をカラビ-ヤウ多様体の定義として使うこともある。

• M は第一実チャーン類がゼロである。
• M はリッチ曲率がゼロとなるケーラー計量を持つ。
• M はSU(n)に含まれる局所ホロノミーを持つケーラー計量を持つ。
• M の標準バンドルの正のべきが自明となる。
• M が自明な標準バンドルとなる有限被覆を持つ。
• M がトーラスの積で自明な標準バンドルを持つ単連結な多様体である有限被覆を持つ。

特に、コンパクトなケーラー多様体が単連結であれば、上記の弱い定義と強い定義は一致する。エンリケス曲面はリッチ平坦な複素多様体の例になる。エンリケス曲面の標準バンドルは自明ではないが、第二の条件に従うと、カラビ-ヤウ多様体の例となる。しかし第一の条件ではカラビ-ヤウ多様体の例にはならない。 エンリケス曲面の二重被覆は、どちらの定義も満たすカラビ-ヤウ多様体である(事実、K3曲面がその例となる)。

ところで、上記の様々な同値を証明するときの難しい部分は、リッチ計量の存在を証明する部分である。このことはカラビ予想のヤウによる証明から従う。つまり、第一実チャーン類がゼロとなるコンパクトなケーラー多様体は、リッチ計量がゼロである同じ類のケーラー計量を持つことを意味する(ケーラー計量の類はケーラー計量に結び付いている2-形式のコホモロジー類である)。 カラビはそのような計量が唯一であることを示した。

カラビ-ヤウ多様体の定義には、他にも等価ではない多くの定義が使われる。これらの差異は主に次のような点である(他にも存在する):

• 第一チャーン類が整数係数の類がゼロとなるか、あるいは、実数の類がゼロになるか。
• カラビ-ヤウ多様体がコンパクトな場合には大半の定義が通用しますが、非コンパクトな場合でも通用する定義もある。非コンパクトな多様体への一般化の中では、差異となっている $(\Omega\wedge\bar\Omega - \omega^n/n!)$ が漸近的にゼロに近づく必要がある。 ここに$\omega$ はケーラー計量$g$ のケーラー計量である(Tian 1990, 1991)。
• カラビ-ヤウ多様体の基本群の制限する定義もあり、その場合には、基本群が自明か有限となる。任意のカラビ-ヤウ多様体は、トーラスの積で単連結なカラビ-ヤウ多様体の有限被覆となる。
• 定義の中には、ホロノミーをSU(n)の部分群ではなくSU(n)そのものとするものもあり、これはホッジ数

hi,0 が 0 < i < dim(M) に対してゼロとなることを意味する. アーベル曲面はホロノミーがSU(2)よりも（SU(2)自体は含まない）小さいホロノミーを持つリッチ計量を持つ（実際に、自明）ので、厳密にSU(2)にホロノミーが一致するという定義の下ではカラビ-ヤウ多様体にはならない。

• カラビ-ヤウ多様体の大半の定義はリーマン計量を持っていることを前提としているが、計量のない複素多様体を扱っている定義もある。
• 大半の定義は、多様体が非特異であることを前提としているが、マイルドな特異点を持つ場合にも成り立つものもある。特異点を持つカラビ-ヤウ多様体はチャーン類をうまく定義できないが、標準バンドルと標準(canonical)類は、特異点がゴレンシュタインであれば定義できて、スムースなカラビ-ヤウ多様体の定義を、特異点を持つカラビ-ヤウ多様体へ拡張することが可能である。

例

複素次元が 1 の場合は、唯一のコンパクトな例がトーラスで、パラメータが一つで形成される。 トーラスのリッチ計量は実際、平坦計量であるので、ホロノミーは自明な群SU(1)である。 1次元カラビ-ヤウ多様体は複素楕円曲線であり、代数多様体である。

複素次元が 2 の場合は、K3曲面が唯一のコンパクトで単連結なカラビ-ヤウ多様体である。非単連結な例は、アーベル多様体となる。エンリケス曲面と超楕円曲面は、第一チャーン類が実係数コホモロジー群としてはゼロであるが、整数係数コホモロジー群としてはゼロにならないので、リッチ計量の存在についてのヤウの定理が適用できなく、カラビ-ヤウ多様体とは考えられない。アーベル曲面はカラビ-ヤウ多様体の分類から除外されることもある。その理由は、ホロノミーが自明であり、SU(2)に同型とならずにSU(2)の固有部分群となるからである。

複素次元が 3 の場合は、（20年前から非常に大きい個数になると想定されていますが、）有限個の族が存在するのではとヤウ氏は想定している。カラビ-ヤウ多様体の分類の問題は未解決である。3次元カラビ-ヤウ多様体の例の一つとしては、CP⁴の中の非特異な5次の3次元多様体で、CP⁴ の同次座標での同次5次多項式のゼロ点のすべてからなる代数多様体である。もうひとつの別な例は、バース-ニエトの5次多様体(Barth–Nieto quintic)のスムースなモデルである。 5次多様体のZ₅ 作用による離散的な商もカラビ-ヤウ多様体となり、多くの文献より注目を集めた。これらの一つがミラー対称性により、元々の5次多様体に関連付けられている。

すべての正の整数n に対して、複素射影空間CPⁿ⁺¹の同次座標での非特異な同次n+2 多項式のゼロ点集合は、コンパクトなカラビ-ヤウ多様体となる。n=1 の場合は楕円曲線であるのに対し、n=2 の場合はK3曲面となる。

すべてのハイパーケーラー多様体は、カラビ-ヤウ多様体である。

超弦理論への応用

カラビ-ヤウ多様体は超弦理論で重要となる. ほとんどの伝統的な超弦モデルで、弦理論で予想される次元 10 は、認識可能な4次元が6次元のファイブレーションの一種を持つと提起されている。カラビ-ヤウ n -次元多様体でのコンパクト化は、元の超対称性のいくつかを保存するので、重要である。詳しくいうと、ラモン-ラモン場（フラックス）のないところでは、カラビ-ヤウ3-次元多様体（実次元は6）は、ホロノミーが完全にSU(3)に一致している場合は、コンパクト化する前の超対称性の1/4を保存する。

さらに一般的には、ホロノミーSU(n) をもつ n-多様体でのフラックスのないコンパクト化では、もとの超対称性の 2¹⁻ⁿ を破ることはなく、これがタイプIIのコンパクト化の場合にはスーパーチャージの 2⁶⁻ⁿ に対応し、タイプIのコンパクト化の場合にはスーパーチャージの 2⁵⁻ⁿ に対応する。フラックスを持っている場合は、超対称性条件はコンパクト化する多様体が一般化されたカラビ-ヤウ多様体となる。この考え方はHitchin (2003) で導入され、これらのモデルはフラックスコンパクト化として知られている。

本質的には、カラビ-ヤウ多様体が弦理論の｢見えない｣6次元（空間次元）の空間を形成する。現在観測可能である長さよりも小さいために、それらを検知することが出来ない。大きな余剰次元として良く知られているモデルは、ブレーンワールドモデルで、カラビ-ヤウ多様体は大きいが、Dブレーンを横切り交叉する部分の上に、私たちが閉じ込められていることを意味している。

F-理論の様々なカラビ-ヤウ4次元多様体でのコンパクト化は、いわゆる弦理論ランドスケープの中で、様々な古典解を見つけ出す方法を物理学者に提供する。

参考文献

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外部リンク

• Calabi–Yau Homepage is an interactive reference which describes many examples and classes of Calabi–Yau manifolds and also the physical theories in which they appear.
• Spinning Calabi–Yau Space video.
• Calabi–Yau Space by Andrew J. Hanson with additional contributions by Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Calabi–Yau Space" - MathWorld.（英語）
• Yau, S. T., Calabi–Yau manifold, Scholarpedia, http://www.scholarpedia.org/article/Calabi-Yau_manifold  (similar to (Yau 2009))