カラツバ法

カラツバ法（カラツバほう）とは、主に多倍長乗算において、乗算の使用回数を4分の3にするアルゴリズムである。 加減算の回数は増加するが、乗算コストはそれより遙かに大きいため、結果として演算コストそのものもほぼ4分の3となる。 発見者のAnatolii Alexeevitch Karatsubaの名前を取ってKaratsuba法(Karatsuba-algorithm)、あるいは単にKaratsubaとも呼ばれる。

従来の乗算は$O(n^2)$だったが、Karatsuba法の再帰的適用により、$O(n^{\log_23})$（$\log_23$≒1.585）まで計算コストが抑えられる。

アルゴリズム

単純な例として、被乗数$X$と乗数$Y$の積$Z$を求める($Z = X \times Y$)。 まず、被乗数$X$と乗数$Y$をそれぞれ上位・下位の2つに分割する。 分割の基数を$b$（例えば3桁ずつに分割するなら$b:=1000$）とすると、

$X := x_1 \cdot b + x_0$

$Y := y_1 \cdot b + y_0$

$Z := z_2 \cdot b^2 + z_1 \cdot b + z_0$

この乗算をKaratsuba以前の方法で行うと、乗算を4回行うことになる。

$z_2 := x_1 \times y_1$

$z_0 := x_0 \times y_0$

$z_1 := x_1 \times y_0 + x_0 \times y_1$

Karatsubaの方法では、乗算を3回で済ませられる。

$z_1 := z_2 + z_0 - (x_1 - x_0) \times (y_1 - y_0)$

計算例

$X=32,463$ $(x_1:=32, x_0:=463)$、 $Y=38,030$ $(y_1:=38, y_0:= 30)$、$b=1000$ とすると、

$z_2:=x_1 y_1=1216$

$z_0:=x_0 y_0=13890$

$z_1:=z_2+z_0-(x_1-x_0)(y_1-y_0)=1216+13890-(-431)(8)=18554$

$Z=1216 b^2 + 18554 b + 13890 = 1,216,000,000 + 18,554,000 + 13,890 = 1,234,567,890$