カッシーニの卵形線

本文の式で

  $a=1, b=1$

  $a=1, b=1.2$

  $a=1, b=1.4$

  $a=1, b=1.6$

本文の式で

  $a=1, b=1$

  $a=1.1, b=1$

  $a=1.2, b=1$

  $a=1.3, b=1$

カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、英語：Cassinian oval）は、直交座標の方程式$(x^2 + y^2)^2 - 2b^2(x^2 - y^2) - (a^4 - b^4)=0$によって表される四次曲線である。

x軸、y軸に対して線対称である。

• a < bのとき2つのまるいループに分かれる。

$(\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0),(\sqrt{-a^2 + b^2},0),(-\sqrt{-a^2 + b^2},0)$の4点でx軸と交わる。

• a = bのときレムニスケートとなる。

$(\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0),(0,0)$の3点でx軸と交わる。

• a > bのとき1つのループからなる。

$(\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0)$の2点でx軸と交わる。

軌跡

2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。 2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が$a^2$であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。

すなわち$\sqrt{(x+b)^2+y^2}\sqrt{(x-b)^2+y^2}=a^2$となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。