アローの不可能性定理

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社会選択理論において、アローの不可能性定理(あろーのふかのうせいていり、:Arrow's impossibility theorem)とは、投票ルールをはじめとする集合的意思決定ルールの設計の困難さに関する定理である。経済学者ケネス・アローが彼の博士論文および著書 Social choice and individual values(『社会的選択と個人的評価』)で明らかにしたこの定理は「不可能性定理」と呼ばれることが多いが、アロー自身は "General Possibility Theorem" (Arrow, 1963, page 59) と呼んでおり、歴史的にはアローの(一般)可能性定理とも訳されていた。単にアローの定理 (Arrow's theorem) と呼ばれることもある。

アローの定理は、選択肢が3つ以上あるとき、いくつか挙げられた望ましい条件 (定義域の非限定性、全会一致性、無関係な選択対象からの独立性、非独裁性) をすべて満たす「社会厚生関数」 (社会的厚生関数、social welfare function) を見つけることはできないことを主張する。この場合の社会厚生関数とは (古典的なバーグソンサミュエルソン型のものとは異なり) 個人の選好関係 (選択肢に関するランキング) を各人について列挙した「一覧」である「選好プロファイル」を社会全体の選好関係に移す関数である。この定理は18世紀以来知られていた投票のパラドックス (コンドルセのパラドックス)、そしてその他の望ましくない現象が多くの意思決定ルールで起こりうることを数学的に証明したものとも言える。しかしアローがとったアプローチである公理的方法は、あらゆる社会厚生関数をいっぺんにあつかうなど過去のアプローチと比べて異質であり、現代版の「社会選択理論」という学問分野 (パラダイム) は、事実上この定理によって始まったと言える[3]

概要[編集]

アローは n 人の有限人個人からなる社会の構成員全員の選好関係 \succeq_i (「選好プロファイル」) (\succeq_1, \ldots, \succeq_n) を独立変数とし、「社会選好」とよばれる選好関係 \succeq を従属変数とする関数を考え、 それを「社会厚生関数」(選好集計ルール) と呼んだ。ここで社会選好 \succeq は次の2つの公理を満たすことを仮定する (ただし x \succeq y は選択肢  xy 以上にランクされる (好ましい) ことを表す; \succeq は数の不等号とは異なる; 記号 \succeq の代わりに「関係」(relation) を表す R の文字が使われることも多い):

  • 完備性. 任意の2つの選択肢 x, y に対し、x\succeq y もしくは y\succeq x が成立する。すなわち xy 以上に望ましいか、yx 以上に望ましいかのいずれかである。(このうち前者だけが成立するとき x\succ y と書き、xy よりも好ましいことを表す。後者だけが成立するとき (y\succ x) は、yx よりも好ましい。いずれも成立するときは xy は無差別という。記号 \succ の代わりに「より好む」(prefer) を表す P の文字が使われることも多い。なお「反射性」すなわち任意の選択肢 x にかんして x \succeq x が成立することは,完備性から導かれる。)
  • 推移性. 任意の3つの選択肢 x, y, z にたいし、x\succeq y かつ y\succeq z ならば x\succeq z となる。すなわち xy 以上に望ましく、yz 以上に望ましければ、xz 以上に望ましい。

選好関係がこれら2つの公理を満たすならば、選択肢が何個あろうともそれが有限個である限り、最も良い選択肢(1個とは限らない)を選ぶことができる。 その意味でこのような選好関係は「合理性」を持つと言える。

そしてアローは、社会厚生関数が下記の4条件 (これらもしばしば「公理」とよばれる) をみたすことが「民主制」にとって不可欠であるとした。

  • 定義域の非限定性 (普遍性). 社会を構成するそれぞれの個人は、完備性・推移性を満たす限りどのような選好をも持ち得る。(すなわち個人選好 \succeq_i が上記の公理をみたすことのみを仮定。この条件は「社会厚生関数」の定義にふくまれることも多い。)
  • 全会一致性 (パレート原則). 社会の全員の選好が「x は y よりも望ましい」と一致している場合、社会選好も「x は y よりも望ましい」となる。(すなわち「すべての個人  i について x\succ_i y」ならば,x \succ y となる。)
  • 無関係な選択対象からの独立性. 選択肢 x と y にかかわる社会選好が、それらふたつの選択肢にかんする個人の順序づけのみで決まる。すなわちその他の選択肢 z に関する個人的選好によって左右されない。(すなわち x \succeq y が成立しているかどうかを知るためには、それら特定の x, y について、x \succeq_i yy\succeq_i x のいずれ,あるいは両方,が成り立っているかをすべての個人 i について記述したデータがあれば十分である。)
  • 非独裁性. 構成員の中に「独裁者」(そのひとが x を y より望ましいとしたときは、かならず社会選好でも x が y より望ましくなるような個人) が存在しない。(すなわち「任意の選好プロファイルについて、もし x \succ_i y ならば,x \succ y となるような」個人 i が存在しない。)

アローの定理とは、3つ以上の選択肢があるとき、上述した社会選好に関する2つの公理と民主制のための4つの条件をすべて満たす社会厚生関数は存在しないことをしめした定理である。すなわち社会が選択肢を合理的に選べるための 2つの公理 (社会選好が完備で推移的であること) と民主的決定のための 4条件とは互いに矛盾することを示した。

この否定的結論は「社会的決定の合理性と民主制の両立は困難である」とか「民主主義は不可能である」といった (それ自体は誤りとは言えない) 主張に単純化されて理解されることもあった。 定理の内容が正しく理解されたにせよそうでなかったにせよ、 この定理が「一般意思」「社会的善」「公共善」「人民の意思」といった主張に疑いを投げかけたことはまちがいない[4]。 この定理をアロー自身は「一般可能性定理」と呼んだ。しかしこの定理のもつ否定的含意から、「アローの不可能性定理」と呼ばれるのが一般的となった。

可能性の探求[編集]

社会選択理論では、アローの定理の否定的結論から逃れることを試みて、多くの研究が行われてきた。 ここではそれらのうちいくつかを、 (i) アローの社会厚生関数と同様の定義域を持つ関数 (ひとびとの選好順序のプロファイルを独立変数とする関数) を考察するもの、 (ii) その他の種類のルールを考察するもの、 に分類して採り上げる。

個人選好からの関数を考えるアプローチ[編集]

この項目には、 (i) 社会厚生関数をはじめとする「選好集計ルール」(個人選好のプロファイルから社会選好への関数) をあつかうもの、およびそれ以外の (ii) 選好プロファイルから選択肢などへの関数をあつかうもの、 がふくまれる。このふたつのアプローチは重複することも多いので、ここではそれらを同時にあつかう。 このアプローチの特徴は、アローが課した条件を外したり緩めたり他のもので置き換えたりして可能性を探ることにある。

無限人の個人.個人が有限人であるという仮定を緩めさえすればアローが課した他のすべての条件を満たす集計ルールが存在することを、何人かの理論家が指摘した (e.g., Kirman and Sondermann, 1972[5])。 しかし彼らが存在するとした集計ルールは「非単項超フィルター」とよばれる構築性の低い数学的オブジェクトの存在に依存することが知られており、 Kirman and Sondermann はそのような集計ルールの背後には「見えざる独裁者」が存在することを、 Mihara (1997[6], 1999[7]) はそのような集計ルールがアルゴリズムによって計算できないものであることをしめした[8]。 したがってアローの定理の頑強さはこれらの結果によってかえって強化されたといえる[10]

選択肢の数の制限.選択肢数が2つのケースについては、単純多数決だけがいくつかの望ましい条件 (選択肢や投票者を平等にあつかうこと、選択肢にたいする支持の増加がマイナスの効果を与えないことなど) をみたすことをメイの定理がしめしている。一方でアローの定理は3つ以上の選択肢があるときの集団的決定の困難性について述べている。なぜ選択肢が3個未満のときと3個以上のときとで歴然とした差が出るのかをより一般的にしめしたのが (シンプルゲームのコアにかかわる)「中村の定理」で、これは選択肢の数が「中村ナンバー」とよばれる整数未満であれば意思決定ルールはうまく選択を行え、その整数以上であればひとびとの選好によってはサイクル (投票のパラドックス) が起きることを示している。多数決の中村ナンバーは (投票者が4人のケースを除けば) 3 であることから、中村の定理より、多数決は2個までの選択肢からならうまく選択を行えることが分かる。 (全体の2/3など) 過半数を超える支持を要求するルールでは中村ナンバーが 3 より大きくなることがあるが、そのようなルールはアローのべつの条件を満たさない[12]

定義域の制限.選好集計ルールの定義域、すなわち想定する選好を制限するアプローチとしては「単峰性」を仮定するものが有名である。 いま、選択肢がある順序で左から右へと並んでいるする。選好がこの順序にかんして「単峰型である」とは、あるピークとなる選択肢が存在し、 そのピークから左側に行くほど望ましくない選択肢に,また、そのピークから右側に行くほど望ましくない選択肢になることである (横軸に選択肢を順序通り並べたとき、効用関数のグラフが一点だけピークを持つ)。 与えられた選択肢の順序にかんして全員の選好が単峰型であるようなプロファイルに定義域を限定すれば、 多数決をはじめとする (「シンプル」と呼ばれる[11]) 集計ルールは非循環的な (後述) 社会選好を持つ。 特に奇数人の多数決では社会選好は推移的になり、「ベストな」選択肢は各個人のピークの中央値になる (Black の「中位投票者定理[13])。 多次元の選択肢集合でも「単峰型である」選好を定義することはできるが、「中央値」にあたる選択肢が特定できるのは例外的ケースにすぎず、 通常は McKelvey の「カオス定理」(1976[14]) のしめす破壊的な結果 (すなわち任意の選択肢 x, y について、 xx_1 が多数決で勝ち、x_1x_2 が多数決で勝ち、… 、 x_ky が多数決で勝つような選択肢の列を見つけることができる) になる。

推移性の緩和.社会選好の推移性を緩和することにより、アローの他の条件をみたす独裁的でない選好集計ルールが存在することは知られている。 しかしそれらの関数に中立性 (選択肢を平等にあつかう条件) を課すと「拒否権」を持つ個人が存在するため、このアプローチによる解決の効果も限定的である。 まず社会選好が推移的であるという要求を弱めて、「半推移的である」 (「より望ましい」を表す強選好 \succ が推移的であること: x \succ y かつ y \succ z ならば x \succ z となる) ことをだけを要求すれば、たしかに独裁者のいない選好集計ルールは存在するが、そのような関数では「寡頭制」(oligarchy) が生じる (Gibbard, 1969)。 すなわちある提携 L が存在し、 L 自体は「決定力を持ち」(decisive; L のメンバーすべてが x を y より好めば社会選好で x が y より望ましくなる)、 L のメンバーひとりひとりが「拒否権を持つ」 (彼が x を y より好めば、社会選好で y が x より望ましくなることを阻止できる)。 社会選好が推移的であるという要求を弱めて、「非循環的である」 (次のような「サイクル」をつくる選択肢 x_1, \ldots, x_k が存在しない: x_1 \succ x_2, x_2 \succ x_3, \ldots, x_{k-1} \succ x_k, x_k \succ x_1) ことをだけを要求すれば、選択肢数が個人の人数以上という制約のもとでは、「合議政体」(collegium) が生じる (Brown, 1975[15])。 すなわち決定力を持つようなすべての提携の共通部分 ("collegium") に属するような個人が存在する。 もし拒否権を持つ個人がいればそのひとはこの共通部分に属する。さらに中立性を要求すれば拒否権を持つ個人はじっさいに存在する[11]。 Brown の定理で空白とされた選択肢数が個人の数未満で非循環性だけを仮定したケースについては、「中村ナンバー」が決定的な役割を持つ。 「選択肢の数の制限」の項目を参照。

無関係対象からの独立性 (IIA) の緩和.無関係対象からの独立性以外の条件をみたす選好集計ルールの例としては、ボルダのルールをはじめいろいろある。 しかし、これらのルールは戦略的操作に左右されるという問題がある (Blair and Muller, 1983[16])。

社会選好ではなく社会選択.社会的決定では、選択肢の順序付けを得ること自体が目的でなく、なんらかの選択肢を選べば済むばあいがむしろ普通だろう。 このアプローチは選好プロファイルを選択肢へ移す「社会選択関数」あるいは、選択肢の部分集合に移す「社会選択ルール」を対象とする。 社会選択関数については、Gibbard-Satterthwaite の定理がよく知られており、 これは3つ以上の選択肢を値域にふくむ社会選択関数が戦略的操作不能であるなら、その関数は独裁的であることをしめしている。 一方、社会選択ルールについては、その背後に社会選好があって、その極大要素 (「ベストな」選択肢) を選択しているとみなすべきである。 社会選好の極大要素の集合を「コア」と呼ぶが、それが要素を持つための条件がふたつのアプローチによって明らかにされている。 第一のアプローチは、選好が非循環的であること (選好が任意の有限集合上で極大要素を持つための必要十分条件) を仮定するため「推移性の緩和」の項目と関連が深い。 もうひとつのアプローチを取る数少ない例である Kumabe and Mihara (2010[17]) では、 (選好が非循環的であると仮定するかわり) より直接的に個人の選好が極大要素を持つと仮定したうえで、 社会選好が極大要素を持つための条件を探っている。 これらのアプローチの詳細は「中村ナンバー」の項目を参照。

その他のアプローチ[編集]

アローのフレームワークでは、個人および社会の選好が選択肢集合上の「順序」であることが仮定されている。 すなわちそれらの選好を効用関数で表した場合、その値は大小関係のみが意味を持つという意味で「序数的効用」となる (たとえば選択 a, b, c, d にたいする効用がそれぞれ 4, 3, 2, 1 であることと 1000, 100.01, 100, 0 であることと 99, 98, 1, 0.997 であることはすべて同じで、 選択肢を a, b, c, d の順序で好むことを表したにすぎない)。 序数的効用の仮定により個人間の効用の比較が排除されていることが、アローのしめした不可能性の大きな理由になっていると言えるだろう[18]

効用の値が単なる大小関係を越えた意味を持つ「基数的効用」を想定するアプローチは、いくつかの理由により現代経済学では主流ではない (たとえば Arrow, 1963, Chapter 2, Section 1)。 しかしそのアプローチでは、個人の選好の強度を考慮したり、効用 (の増減あるいは絶対レベルを) を個人間で比較することが可能になる。 たとえば選択肢の良し悪しを個人の効用の合計によってはかるベンサム流の功利主義は Harsanyi (1955) によって正当化されている。 また、選択肢の良し悪しをもっとも効用の低い個人の効用によってはかるロールズ流の maximin 原理は Hammond (1976) によって正当化されている。

最後に、ある種のルールを考察するアプローチとは言えないが、「個人選好と同じように社会選好があると考えるのはおかしい」というブキャナンらの批判がある。 少なくとも一部は誤解にもとづくこの類いの初期の批判にたいしては、アロー自身が答えている (Arrow, 1963, Chapter 8)。

関連項目[編集]

脚注[編集]

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  1. ^ Suzumura, Kōtarō; Arrow, Kenneth Joseph; Sen, Amartya Kumar (2002). Handbook of social choice and welfare, vol 1. Amsterdam, Netherlands: Elsevier. ISBN 978-0-444-82914-6.  Kenneth J. Arrow, Amartya K. Sen, Kotaro Suzumura 編 (2006). 社会的選択と厚生経済学ハンドブック, Vol 1. 鈴村興太郎・須賀晃一・中村慎助・廣川みどり監訳, 丸善.
  2. ^ 鈴村 興太郎 (2009). 厚生経済学の基礎: 合理的選択と社会的評価. 岩波書店. ISBN 978-4000099165. 
  3. ^ Suzumura, 2002,[1] Introduction, page 10; 鈴村, 2009[2], 484頁.
  4. ^ フェルドマン, セラーノ, 2009, 294頁。
  5. ^ Kirman, A.; Sondermann, D. (1972). “Arrow's theorem, many agents, and invisible dictators”. Journal of Economic Theory 5: 267. doi:10.1016/0022-0531(72)90106-8.  編集
  6. ^ Mihara, H. R. (1997). “Arrow's Theorem and Turing computability”. Economic Theory 10: 257–276. doi:10.1007/s001990050157. http://129.3.20.41/eps/pe/papers/9408/9408001.pdfReprinted in K. V. Velupillai , S. Zambelli, and S. Kinsella, ed., Computable Economics, International Library of Critical Writings in Economics, Edward Elgar, 2011.  編集
  7. ^ Mihara, H. R. (1999). “Arrow's theorem, countably many agents, and more visible invisible dictators”. Journal of Mathematical Economics 32: 267–277. doi:10.1016/S0304-4068(98)00061-5.  編集
  8. ^ 選好集計ルールの「計算可能性」は、 シンプルゲームの「計算可能性」(ライスの定理に類する結果を参照) にもとづいて定義されている。
  9. ^ Taylor, Alan D. (2005). Social choice and the mathematics of manipulation. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-00883-2. 
  10. ^ 無限人社会の社会選択については、Taylor (2005[9]) の Chapter 6 がコンパクトな解説をしている。
  11. ^ a b c Austen-Smith, David; Banks, Jeffrey S. (1999). Positive political theory I: Collective preference. Ann Arbor: University of Michigan Press. ISBN 978-0-472-08721-1. 
  12. ^ 選択肢数を制限するアプローチについては、社会選択理論のテキストである Austen-Smith and Banks (1999[11]) の Chapter 3 が特に詳しい。
  13. ^ Black, Duncan (1968). The theory of committees and elections. Cambridge, Eng.: University Press. ISBN 0-89838-189-4. 
  14. ^ McKelvey, R. (1976). “Intransitivities in multidimensional voting models and some implications for agenda control”. Journal of Economic Theory 12: 472–482. doi:10.1016/0022-0531(76)90040-5.  編集
  15. ^ Brown, D. J. (1975). Aggregation of Preferences. Quarterly Journal of Economics 89: 456-469.
  16. ^ Blair, D. (1983). “Essential aggregation procedures on restricted domains of preferences”. Journal of Economic Theory 30: 34–00. doi:10.1016/0022-0531(83)90092-3.  編集
  17. ^ Kumabe, M.; Mihara, H. R. (2011). “Preference aggregation theory without acyclicity: the core without majority dissatisfaction”. Games and Economic Behavior 72: 187–201. doi:10.1016/j.geb.2010.06.008. http://mpra.ub.uni-muenchen.de/23918/2/MPRA_paper_23918.pdf.  編集
  18. ^ たとえば「選挙のパラドクス—なぜあの人が選ばれるのか?」(ウィリアム パウンドストーン (著)、篠儀直子(訳)) によると、Range voting などの選好の強度を考慮できるルールには、アローの定理を当てはめることはできないという。

参考文献[編集]

  • Kenneth Arrow: Social Choice and Individual Values, 1963, ISBN 0300013647. (ケネス・J・アロー(長名寛明訳)『社会的選択と個人的評価』日本経済新聞社, 1977)
  • Austen-Smith, David; Banks, Jeffrey S. (1999). Positive political theory I: collective preference. Ann Arbor: University of Michigan Press. ISBN 0-472-10480-2. 
  • Campbell, D.E. and Kelly, J.S. (2002) Impossibility theorems in the Arrovian framework, in Handbook of social choice and welfare (ed. by Kenneth J. Arrow, Amartya K. Sen and Kotaro Suzumura), volume 1, pages 35-94, Elsevier. (以下に所収: 社会的選択と厚生経済学ハンドブック, Vol 1. 鈴村興太郎・須賀晃一・中村慎助・廣川みどり監訳, 丸善)
  • A. M. フェルドマン; R. セラーノ (2009). 厚生経済学と社会選択論. シーエーピー出版. ISBN 978-4916092908. 
  • 松井知己: 『Arrow の一般可能性定理の証明の解説』, オペレーションズ・リサーチ, 46(2001), 93-97.
  • 佐伯胖: 『きめ方の論理―社会的決定理論への招待』, 東京大学出版会, 1980, ISBN 4130430173
  • アマルティア セン (2000). 集合的選択と社会的厚生. 勁草書房. ISBN 978-4326501861. 
  • Taylor, Alan D. (2005). Social choice and the mathematics of manipulation. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-00883-2.