アルティンのL-函数

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数学では、アルティンのL-函数(Artin L-function)は、ガロア群(Galois group) G の線型表現英語版(linear representation) ρ に付随するディリクレ級数のひとつである。これらの函数は、1923年にエミール・アルティンドイツ語版英語版(Emil Artin)により導入され、彼の類体論の研究に繋がっている。特に、以下に述べるアルティン予想という基本的な性質は、容易に証明することが困難であることが判明している。提唱されている非アーベル的類体論(non-abelian class field theory)の目的のひとつに、アルティンのL-函数の複素解析的性質を、保型形式ラングランズ哲学で提供されているような、もう少し大きなフレームワークに入れて協調可能かということがある。今まで、そのような理論で確実に根付いた部分は少ない。

定義[編集]

G を数体の有限次拡大(finite extension) L/K のガロア群とし、 \rho を有限次元ベクトル空間 V 上への G の表現とすると、アルティンのL-函数は、オイラー積により以下のように定義される。

L整数環の各々の素イデアル  \mathfrak P に対し、オイラー要素が存在する。このことは、 L  \mathfrak P 不分岐であるときには容易に定義される(ほとんどすべて英語版 \mathfrak P に対し不分岐である)。この場合には、フロベニウス元  \mathbf{Frob} (\mathfrak P) が、 G での共役類英語版(conjugacy class)として定義される。従って、 \rho( \mathbf{Frob} (\mathfrak{P})) 固有多項式well-definedである。 \mathfrak{P} のオイラー要素は固有多項式を少し変形するが、これもwell-definedである。変形された固有多項式は、

 \operatorname{charpoly}(\rho(\mathbf{Frob}(\mathfrak{P})))^{-1}
 = \operatorname{det} \left [ I - t \rho( \mathbf{Frob}( \mathfrak{P})) \right ]^{-1}

となり、 t = N (\mathfrak{P})^{-s} と置き直すと、s を複素変数とした通常のリーマンゼータ函数の記法として t の有理函数となる。(ここに N はイデアルの体のノルムである。)

 \mathfrak{P} が分岐し、G の部分群 I が惰性群英語版(inertia group)のときも、同じ構成が適用できるが、I により(点として)固定された V の部分空間への適用となる[note 1]

従って、アルティンのL-函数 L(\rho,s) は、これらの要素のすべての素イデアル  \mathfrak{P} を渡る無限積である。アルティンの相互法則(Artin reciprocity)が示しているように、G がアーベル群のときこれらの L-函数は第二の記述を持つ(K が有理数体のときはディリクレのL-函数として、一般にはヘッケのL-函数として)。アルティンのL-函数が重要な点は、非アーベル群 G とその表現を持っていることである。

ひとつの応用として、有理数体上のガロア拡大の場合のように、デデキントゼータ函数の分解を与えることがある。既約表現正則表現を分解することに応じ、G の各々の既約表現に対し、そのようなゼータ函数はアルティンのL-函数の積へと分解する。例えば、最も単純な例としては、G が対称群とのときである。G が次数 2 の既約表現を持っているので、そのような表現のアルティンのL-函数は二次となり、数体のデデキントのゼータ函数を、(自明表現に対する)リーマンのゼータ函数と符号表現に対してはディリクレタイプのL-函数への分解を起こす。

函数等式[編集]

アルティンのL-函数は、函数等式を満たす。ρ* で複素共役表現英語版(complex conjugate representation)を表すと、函数 L(ρ,s) は、値が L(ρ*, 1 − s') に関係している。さらに詳しくは、L を Λ(ρ, s) へと置き換える。ここに L はあるガンマ要素をかけた値とし、絶対値 1 のある複素数 W(ρ) をもつ有理函数の等式

Λ(ρ, s) = W(ρ)Λ(ρ*, 1 − s)

が成り立つ。W(ρ) がアルティンの根である。これは 2つの性質に関して深く研究されている。第一の性質は、ラングランズとデリーニュにより確立されたラングランズ・デリーニュの局所定数英語版(Langlands–Deligne local constant)への分解である。これは保型表現との関係を予想するために重要である。また、ρ と ρ* が同値表現英語版(equivalent representation)である場合は、まさに函数等式が両辺で同じになる。代数的に言うと、このことは ρ が実表現英語版(real representation)もしくは四元数表現英語版(quaternionic representation)の場合である。従って、アルティンの根の数は +1 かまたは −1 である。符号がどうなるかという問題は、ガロア加群英語版(Galois module)の理論に繋がっている(Perlis 2001)。

アルティン予想[編集]

アルティンのL-函数のアルティン予想(Artin conjecture)は、非自明な既約表現 ρ アルティン L-函数 L(ρ,s) は全複素平面上で解析的であることを予想している[1]

このことは、一次表現では成り立つことが知られている。ヘッケ指標に付随する L-函数や、特に、ディリクレのL-函数に対してはアルティンの予想が成り立つ[1]。さらに一般的に、アルティンは、すべての一次元表現から引き起こされる表現についてはこの予想が正しいことを示した。ガロア群が超可解群英語版(supersolvable)であれば、すべての表現に対してアルティンの予想が成り立つ。

アンドレ・ヴェイユ(André Weil)は、函数体の場合にアルティンの予想が成り立つことを証明した。

2次元表現は、像の部分群の性質により分類される。2次元表現は、巡回的、二面的、四面体的、八面体的、二十面体的かによる。巡回的、二面的な場合のアルティン予想は、容易にヘッケ英語版(Erich Hecke)の仕事から従う。ラングランズはベースチェンジ英語版(base change lifting)の方法を使い四面体の場合を証明し、タネル(Tunnell)は彼の仕事を拡張し八面体の場合も証明した。ワイルズ(Wiles)は谷山志村予想を証明するため、これらの方法を使った。リチャード・テイラー(Richard Taylor)ほかは、(非可解な)八面体の場合についていくつかの点で前進をさせた。現在、研究が進行中である。

誘導指標のブラウアの定理英語版(Brauer's theorem on induced characters)は、すべてのアルティンのL-函数は、ヘッケのL-函数の正と負の整数べきの積であることを意味し、従って、全複素平面上で有理型であることになる。

Langlands (1970)は、アルティン予想がラングランズ哲学の十分強い結果に従うことを指摘した。ラングランズプログラムは、アルティン予想をすべての n ≥ 1 に対する GL(n) への保型表現(automorphic representation)に関係付ける。さらに詳しくは、ラングランズ予想はアデール群 GLn(AQ) の保型表現を、すべてのガロア群の n-次元既約表現へ結びつける。ガロア表現が既約のときにカスプ表現といい、ガロア表現のアルティンのL-函数は保型表現のL-函数と同じものとなる。従って、アルティン予想は、保型的なカスプ表現のL-函数は正則であるという既に知られれている事実から、直ちに従う。このことはラングランズの仕事の主要な動機のひとつであった。

参照項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 余不変(coinvariant)の替わりを考えるというほうがより正確である。不変な部分(invariant)というよりも、I により固定された最大の商空間を考える。ここでの結果は同じであり、ハッセ・ヴェイユのL-函数(Hasse–Weil L-function)も同じ状況下にあると言える。

参考文献[編集]

  1. ^ a b Martinet (1977) p.18

外部リンク[編集]