アデール的代数群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

抽象代数学では、アデール的代数群(adelic algebraic group)は、数体 K 上の代数群英語版(algebraic group) G と、K のアデール環 A = A(K) により定義される位相群である。アデール的代数群は、A に値を持つ G の点より構成される。適切な位相空間の定義は、G が線型代数群英語版(linear algebraic group)のときのみ、直接理解することができる。G がアーベル多様体の場合は、玉河数に関連する本質的に有益が概念が知られているにもかかわらず、アデール的代数群の理解にはテクニカルな障害がある。アデール的代数群は広く数論で使われており、特に、保型表現論や二次形式の数論英語版(arithmetic of quadratic form)では良く使われている。

G が線型代数群の場合は、アデール的代数群は アフィン N-空間のアフィン代数多様体英語版(affine algebraic variety)である。アデール的代数群 G(A) 上のトポロジーは、アデール環の N 個のコピーのカルテシアン積 AN部分空間の位相英語版(subspace topology)を取る。

イデール[編集]

重要な例として、G = GL_1 の場合のイデール群(idele group) I(K) がある。ここに、イデールの集合(また、idèles( /ɪˈdɛls/) は、可逆なアデールからなるが、イデール群上のトポロジーはアデールの部分空間としてのトポロジーではない。かわりに、GL_1 が 2次元アフィン空間の中に

{(t, t−1)}

により双曲線として埋め込まれていると考えると、イデール群についてのトポロジーは、A2 の中へ埋め込むことで引き起こされるトポロジーである。射影と合成して、A の部分空間(のトポロジー)よりもよりよいトポロジー英語版(finer topology)をイデールは持っていることが従う。

AN の内側では、積 KN離散群英語版(discrete subgroup)としてあり、このことは、G(K) は G(A) の離散部分群であることも意味する。イデール群の場合、商群(quotient group)

I(K)/K^*

イデール類群(idele class group)である。イデール類群は、イデアル類群と(それより大きいにも関わらず)密接な関係を持っている。イデール類群はコンパクトではなく、イデールはまず、ノルム 1 のイデールにより置き換えられると、イデール類群の中のイデールの像がコンパクト群英語版(compact group)となる。このことの証明は本質的に、類数の有限性の証明と同値である。

イデール類群のガロアコホモロジー英語版(Galois cohomology)の研究は、類体論の中心的な課題である。イデール類群の指標は、現在、ヘッケ指標(Hecke character)と普通呼ばれるが、大半のL-函数のクラスで発生する。

玉河数[編集]

さらに一般的な G に対し、玉河数(Tamagawa number)は

G(A)/G(K)

の測度として定義される(または、間接的に計算される)。

玉河恒夫(Tsuneo Tamagawa)は、K 上に定義された G 上の不変微分形式 ω から始め、意味している測度がwell-defined であることを確認した。一方、ω をある非負な K の元 c により cω と置き換えると、K の付値積公式へは、商の測度 c より独立性により、各々の有効因子上の ω から構成された積測度が影響する。半単純群英語版(semisimple group)の玉河数の計算は、古典的な二次形式の理論の重要な部分である。

用語の歴史[編集]

歴史的には、イデール(idèles)は、 Chevalley (1936)でフランス語の「基本イデアル」を意味する "élément idéal" の命名で導入され、その後、Chevalley (1940)で "idèle" と省略された。(これらの論文で彼は、イデールをむしろ非ハウスドルフトポロジーとしていた。)このことは、位相群のことばで無限次拡大の類体論を定式化したものであった。Weil (1938) は、(命名こそしなかったが、)アデールの環を函数体の場合に定義し、「イデールの元」のシュヴァレー群はアデール環の可逆元であることを指摘した。テイト(Tate)はこの元をアデールではなく「付値ベクトル」と呼んだが、Tate (1950) で、アデールの環を制限直積として定義した。

Chevalley (1951)は、函数体の場合のアデール環を「再分配(repartitions)」の名前で定義した。用語のアデール(加法的なイデール(additive idèles)を短くした形、フランスの少女の名前でもある)は、後日で (Jaffard 1953)で短くして使われ、これはアンドレ・ヴェイユ(André Weil)により使われたのかもしれない。Ono (1957)でのアデール的代数群の一般的構成は、アルマン・ボレル(Armand Borel)とハリシュ・チャンドラにより発見された代数群に従った。

脚注[編集]

参考文献[編集]

外部リンク[編集]