アステロイド (曲線)

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アステロイド, a=1

アステロイド（astroid）は直交座標の方程式 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ によって表される曲線で、星に似たその形から、星芒形（せいぼうけい）、星形とも呼ばれる。内サイクロイドの一種と見なすことができる。

パラメータ表示では $x = a cos 3 θ, y = a sin 3 θ$ となる。

x軸、y軸に対して線対称である。曲線で囲まれた面積は $S=\frac{3}{8} \pi a^2$ 、曲線の弧長はl=6aである。

アステロイドの縮閉線はアステロイド（を2倍にして、45度回転させたもの）である。

また $\left(\frac{x}{a} \right)^{\frac{2}{3}} + \left(\frac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}} = 1$ で表される曲線では、パラメータ表示は $x = a cos 3 θ, y = b sin 3 θ$ 、曲線で囲まれた面積は $S=\frac{3}{8} \pi ab$ 、曲線の弧長は $l = \frac{4(a^2 + ab + b^2)}{a + b}$ となる。