ほとんど整数

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ある数がほとんど整数（ほとんどせいすう、almost integer）であるとは、整数ではないが、整数に非常に近いことを意味する。どれほど近ければ十分であるのか明確な決まりはないが、一見して整数に近いとは分からないのに、近似値を計算すると驚くほど整数に近い数で、小数点以下の部分が「.000…」または「.999…」のように、0か9が数個連続する場合、このように表現される。例えば、「インドの魔術師」の異名をもつシュリニヴァーサ・ラマヌジャンは

22π4 = 2143.000002748…

など、整数に近い数の例をいくつか与えた[1]。また、黄金比 φ = 1.618… の累乗、例えば

φ17 = 3571.000280…
φ18 = 5777.999826…
φ19 = 9349.000106…

は整数に近い。整数に近い数を与えることは、単なる趣味の範疇であることが多いが、意義深い数学的な理論が背景にあることも少なくはない。

目次

整数に近い理由 [編集]

ほとんど整数であることに、合理的な理由が与えられている場合と、与えられていない場合とがある。例えば、冒頭に挙げた黄金比

\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

の累乗が整数に近い理由は、次のように説明される。

φ は二次方程式 x2 - x - 1 = 0 の根である。この方程式のもうひとつの根を

\overline{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

とおくと、根と係数の関係より φ + φ = 1, φ φ = -1 であるから、これらの整数係数多項式で表せる対称式 φn + φn は整数である。しかるに、φ の絶対値は 1 より小さいため、n を大きくすると φn は 0 に近付く。したがって、n が大きくなるほど φn は整数に近くなる。一般に、同様の理由で (整数ではない) ピゾ数（英語版）の累乗は限りなく整数に近付く。

他の例として、

sin(11) = -0.99999020655…

が整数に近い[2]理由は、半角の公式

\sin^2(11)=\frac{1}{2}(1-\cos(22))

および、22⁄7 が π の近似分数であるために cos(22) が cos(7π) = -1 に近いことによる、と説明できる。なお、リンデマンの定理より、この数は超越数である。

一方、なぜ整数に近いのか、合理的な理由が与えられていないものもある。ゲルフォントの定数と円周率との差

e^\pi-\pi=19.999099979\cdots

がほとんど整数であることは、1988年頃に、ニール・スローン、ジョン・ホートン・コンウェイ、サイモン・プラウフによって相次いで指摘されたが、その理由は知られておらず、単なる偶然であろうと考えられている[1]。なお、π + 20 が eπ に近いため、

\cos(\log(\pi+20))=-0.99999999924368\cdots

という変形も与えられる。

図形における例 [編集]

d の値は非常に整数に近い

エドワード・ペグ・ジュニア（英語版）は、三角形にほとんど整数である数が隠れていることを指摘した[1]。AB = 27, BC = 30, CA = 22 である三角形の内部に点 O を、OB = 23, OC = 16 となるようにとると、OA はいくらになるだろうか。実際に作図してみると、ほぼ 7 と測定される。しかし、正確には

\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{30}(61421-23\sqrt{5831385})}

であって、およそ 7.0000000857 である。

物理学における例 [編集]

微細構造定数は

\alpha = \frac{e^2}{\hbar c \ 4 \pi \epsilon_0} = 7.297\,352\,5376(50) \times 10^{-3} .

で与えられるが、その逆数は137に近い。 ヴォルフガング・パウリは、この数がなぜ整数に近いのかを生涯にわたって考え続けていたと言われる。

ラマヌジャンの定数 [編集]

1975年のエイプリルフールに、マーティン・ガードナーはサイエンティフィック・アメリカン誌のコラム「数学ゲーム」(Mathematical Games) において、次のようなジョークを発表した。一見してとても整数とは思われない数

e^{\pi \sqrt{163}}

が 262537412640768744 に等しいということは、かのラマヌジャンも予想していたことだ、と。実際には、ゲルフォント＝シュナイダーの定理から超越数であることが分かり、近似値は 262537412640768743.99999999999925007… である。この数が整数に近い理由は、保型関数の理論を用いて説明される。背景には、虚二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{-163}) の類数が 1 であるという事実がある。類数が 1 であるような虚二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) は、d が

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 （オンライン整数列大辞典の数列 A3173）

のいずれかのものに限ることが知られており、これらの数から整数に近い一連の数

\begin{align} e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 12^3(3^2-1)^3+744-0.22 \\ e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 12^3(9^2-1)^3+744-0.00022 \\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 12^3(21^2-1)^3+744-0.0000013 \\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 12^3(231^2-1)^3+744-0.00000000000075 \end{align}

が得られる。このうち、最後のものをラマヌジャンの定数という。これはサイモン・プラウフによって名付けられたものであり、前述のジョークに由来している[3]。ラマヌジャン自身は類似の数に言及しているものの、直接に関与したという事実は知られていない。

その他の例 [編集]

その他にも、数多くの整数に近い数の例が与えられている。以下、単純なものを列挙する。

  • e6 - π4 - π5 = 0.000017673…[1]
  • π9/e8 = 9.9998387978…[1]
  • 163 (π - e) = 68.9996644963…[1]
  • (5φe)/(7π) = 1.0000097…[1]

脚注 [編集]

  1. ^ a b c d e f g MathWorld, Almost Integer
  2. ^ M. Trott, The Mathematica GuideBook for Programming, New York, Springer-Verlag, 2004.
  3. ^ MathWorld, Ramanujan Constant

関連項目 [編集]

  • 0.999... - ほとんど1ではなく、ちょうど1。

外部リンク [編集]

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